空间的并与空间的和

第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构

一 线性空间的定义

设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素?和?，在V中都有唯一的一个元素?与他们对应，成为?与?的和，记为?????。在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素?，在V中都有唯一的一个元素?与他们对应，称为k与?的数量乘积，记为??k?，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。 加法满足下面四条规则：

1）???????；交换律

2）(???)?????(???)；结合律

3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素?都有??0??（具有这个性质的元素0称为V的零元素）； 存在零元

4）对于V中每一个元素?，都有V中的元素，使得????0（?称为?的负元素）.存在负元 数量乘法满足下面两条规则：

5）1???； 存在1元 6）k(l?)?(kl)?. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则：

7）(k?l)??k??l?； 数的分配律 8）

篇一：作文：空间

小时候，看到奶奶在菜地里播种，将菜籽撒在一个个距离一定的坑中，我好奇地问：“为什么要距离这么远啊？”“因为它们生长需要空间啊。”

是的，需要空间，这是每样事物生存发展的必要条件。只有在那片无拘无束的自由天地里，我们才能最充分地将自己发展完善，成为真正的有用之材。

在法国波尔多有着举世闻名的葡萄酒庄园，每年那里的葡萄林都会给全世界带来最纯正的波尔多酒。为什么那里的葡萄酒那么香醇，秘密就在当地独有的葡萄之土。那些葡萄树彼此分离，每一个独享一个架子，这样，它们都有足够的空间享受阳光雨露，也不会纠缠在一起，每一棵树都自由地无拘无束地成长，便生成了味道香醇的葡萄。

葡萄树因为足够的空间而能尽情生长，而人也需要在足够的空间中才能成长，才能发展。当你被局限在一方狭小的天地之中，纵使你有青云之志，也摆脱不了坐井观天的命运。 许多人都会去探讨西方人与东方人教育理念的差异，而得出的普遍结论就是：西方人给予孩子更多发展的空间，而东方人都是将孩子禁锢在一方狭小的天地中，可能是一大堆无聊的补习书，也可能是一架见了就头疼的钢琴。于是乎，人们发现，当西方的大学生开始独立打工挣学费的时候，我们有些还在因为不会洗衣服而到处找妈妈呢!

我们的成长需要空间!这或许就是无数

空间的距离的计算

班别 姓名 学号

教学目标：

能用向量方法解决两点间、两异面直线间、点面间、线面间、面面间的距离的计算

题型一 两点间的距离计算

设空间两点A x1,y1,z1 ,B x2,y

2,z2 ，则dAB

例1 已知点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点是B，则|AB| 。（10）

练习1 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长是4，CE

线段EF的长是 。29

1

CC1，F是A1B1的中点，则4

题型二 两条异面直线间的距离计算

如图1，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点.

AB n

令向量n a,n b， 两异面直线a、b间的距离为：d .其中n与

n

a、b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点.

图1

例2 如图，四棱锥S ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，

SB .求异面直线DM和SB间的距离.

D=

1

6

练习2正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1，求异面直线AC和 A 1 D 的距离 D=

3

题型三 点到平面的距离的计算

（1）等体积法：把点到面的距离看作某个体积可知的三棱锥的高，利用

姓名： 学号：

（实验五）空间滤波和θ调制

一、实验目的

1. 了解空间滤波概念、实现方法及其在光学信息处理中的作用； 2. 初步了解简单的空间滤波在光学信息处理中的实际应用 ； 3. 了解θ调制的原理；

4. 学会利用光学原件组装θ调制光路 。

二、实验原理

1. 空间滤波

根据阿贝成像理论，像是频谱面上各级频谱产生的子波相干叠加的结果（干涉合频）。由此启发我们，可通过对频谱面的改造达到改造像的目的。在频谱面上所作的光学处理就是空间滤波。

最简单的滤波器就是把一些特殊形式的光阑插到焦平面上，使一个或几个频率分量能通过，而挡住其他频率分量，从而使像平面上的图像只包括一种或几种频率分量。 2. θ调制

θ调制是用不同取向的光栅对物平面的各部位进行调制（编码），通过特殊滤波器控制像平面相应部位的灰度（用单色光照明）或色彩

（用白光照明）的方法。

对如图所示的θ调制板，图案各部分是有不同取向的光栅。如果使用白光照射，每个光栅会在不同方向形成彩色频谱（零级除外）。

每个彩色谱斑的颜色分布都是从外向里按红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫的顺序排列。

在频谱面上放置一个空间滤波器，让不同方向的谱斑通过不同的颜色，则在像面上得到彩色像。

这是利用不同方向的

本系列文章包括两篇，他们文周详地地介绍了Linux系统下用户空间和内核空间数据交换的九种方式，包括内核启动参数、模块参数和sysfs、

sysctl、系统调用、netlink、procfs、seq_file、debugfs和relayfs，并给出具体的例子帮助读者掌控这些技术的使 用。

本文是该系列文章的第二篇，他介绍了procfs、seq_file、debugfs和relayfs，并结合给出的例子程式周详地说明了他们怎么使用。

1、内核启动参数

Linux 提供了一种通过 bootloader 向其传输启动参数的功能，内核研发者能通过这种方式来向内核传输数据，从而控制内核启动行为。

通常的使用方式是，定义一个分析参数的函数，而后使用内核提供的宏 __setup把他注册到内核中，该宏定义在 linux/init.h 中，因此要使用他必须包含该头文件： __setup(\para_name 为参数名，parse_func

为分析参数值的函数，他负责把该参数的值转换成相应的内核变量的值并设置那个内核变量。内核为整数参数值的分析提供了函数 get_option 和

get_options，前者用于分析参数值为一个整数的情况，而后者用于分析参数值为

书法的空间构成：个别与整体——结字法

与章法

一、结字

在第一节中，我们已经阐述了作为书法艺术的母体——汉字的基本

构架，它是汉字书写成为书法艺术的首要前提。书法艺术中对汉字结构的再创造，便是结字。虽然每位书家的结字风格多有不同，但从审美角度看，结字自有一种基本的原则。我们亦曾在第二节中论述了传统哲学思想对结构美的影响，并分析了结字之理、法，在此，我们将作更为具体的讨论。 1.基本构架 ①平行与交叉

汉字的构造，其基本的元素为线，线与线之间的平行、交叉形成字的结构。一般地说，同类线在规范汉字中大多平行，如“鱼”字，横画与横画之间，竖画与竖画之间，撇与撇之间即呈平行关系，但点的形态却为例外，点一般呈外放内收型。譬如说三点水“氵”，其笔势固然由上而下，形态则为一种幅射线，形成向内的趋势。再如火字点，则为另一种形态，起点与后三点构成对立的势，而总的趋势也为内收外放，即相交点在字内。而异形线一般都有直接交叉的现象。如横竖交叉(“ ”)，点横交叉(亢)，横撇交叉(又)，横捺交叉(戈)，竖撇交叉(身)，撇捺交叉(来)等等。而线条交叉的现象可分为三种：第一种为直接交叉，如“十”

字；第二种为交接，如“人”字；再有便是既未直接交叉

篇一：空间留言寄语大全

1、温柔的风吹着快乐的帆，载满鲜花，飘向远方的您，飘 进您的家园 ，飘进您的心田；友情来自于真诚，祝福来自于真心！愿微笑常挂您脸上，

愿幸福降临您身旁，愿欢愉飞进您心房，愿好运伴您生活在2010??

2、风起，是我绵绵的牵挂；云涌，是我的深深的思念；鸟语，是我细细的倾诉；花开，

是我暖暖的微笑！朋友，就让风儿吹着你，云儿绕着你，鸟儿瞅着你，花儿护着你，快乐每

一天！幸福每一天！

3、山脉能阻隔你我视线，却阻隔不住深深的思念；经纬可以拉开距离，却拉不开贴心的

感觉；岁月可以流逝华年，却流逝不了友情的青春。

4、有一种酒一点点就能醉人，有一种爱一点点就能温暖， 有一种人一相识就难忘记，

有一种心不见面也会惦记。

5、有一种祝福不是在网上，而是在心里！没有擦肩，却留下了瞬间的感动；未曾见面，

却在心里留下了一个身影。不知对方姓甚名谁，却在心上久久停留！淡淡地牵挂，默默地关

注，遥遥的祝福，即使一切是短暂的，也将定格成我们永恒的回忆，成为我们一生中最美丽

的风景！

6、阳光每一天都是明朗，笑容每一天都是真；祝福每一天都是深，问安每一句都是真。

即使没有约定, 却有默契衷心祝福, 无论何时，真诚的祝福永远在你身边，给你带来幸福快

乐!

7、谢谢你的问候！晚上好

线性空间的同构

由前面的讨论知道，给定数域F上的n维线性空间V的一个基?1,?2,V中的任意一个向量x由?1,?2,,?n后，

,?n唯一线性表示，即存在唯一的

,?n]a。反之，对任意一个向量,?n]a，所以在线性空间V和Fn之

a??a1a2an??Fn，使得x?[?1,?2,Ta?Fn，存在唯一的x?V，使得x?[?1,?2,间存在一一的线性映射。这样，V的一些性质在Fn中会有所体现，所以研究Fn的属性将对V中的问题有所刻画，由此我们给出同构的概念。

定义1 设U,V是数域F上的线性空间，T是从U到V的线性映射，如果T是一一映射且为满射，则称T为从U到V的同构映射。若线性空间U,V之间存在同构映射，则称U,V同构。若T为从U到U的同构映射，则称T为U的自同构映射。

例1 数域F上的n维线性空间V与Fn同构。

?01?22TR?x?R例2 定义T(x)??，，则为的自同构映射。 x??10?定理1 设T为从数域F上的线性空间U到V的线性映射，且为满射，则T为

U到V的同构映射充分必要条件是若T(x)??v有x??u。

证明 必要性 设T为U到V的同构映射，由于T是一一映射及T(?u)??v，故

有若T(x)??v，则x??u。

充分性 只

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座10）—空间中的平行关系

一．课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直

52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1） （2）( ) ( )

对 ，有 使 （ ） 0 （3） 零向量 有 （4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中 的乘积记作a ,a V）。如