高等数学分段函数例题及解析

1

1，对三组生产数据求和:=SUM(B2:B7,D2:D7,F2:F7)：

2，对生产表中大于100的产量进行求和:{=SUM((B2:B11>100)*B2:B11)}：

3，对生产表大于110或者小于100的数据求和:{=SUM(((B2:B11<100)+(B2:B11>110))*B2:B11)}： 4，对一车间男性职工的工资求和:{=SUM((B2:B10=\一车间\男\： 5，对姓赵的女职工工资求和:{=SUM((LEFT(A2:A10)=\赵\女\6，求前三名产量之和:=SUM(LARGE(B2:B10,{1,2,3}))： 7，求所有工作表相同区域数据之和:=SUM(A组:E组!B2:B9)

8，求图书订购价格总和:{=SUM((B2:E2=参考价格!A$2:A$7)*参考价格!B$2:B$7)} 9，求当前表以外的所有工作表相同区域的总和:=SUM(一月:五月!B2), 10，用SUM函数计数:{=SUM((B2:B9=\男\ 11，求1累加到100之和:{=SUM(ROW(1:100))}

12，多个工作表不同区域求前三名产量和:{=SUM(LARGE(CHOOSE({1,2,3,4,5},A组!B2:B9,B组!B2:B9,C组!B2:

分段函数常见题型例析

所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：

１．求分段函数的定义域、值域

例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2

)2(,42x x x x x 的值域．

解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．

当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2

2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．

２．作分段函数的图象

例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞?

，，，，

，，，画函数(

f x 解：函数图象如图１所示．

评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，

作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出

其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；

二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值

例３．

函数

1.已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ??=，则整数对()b a ,的个数为 （ ）

A. 20

B. 25

C. 30

D. 42

解：50x a -≤5a x ?≤；60x b ->6

b x ?>。要使{}2,3,4A B N ??=，则 126455b a ?≤<????≤<??

，即6122025b a ≤<??≤<?。所以数对()b a ,共有116530C C =。 2.已知f(x)是定义在R 上的不恒为0的函数．如果对于任意的a 、b ∈R 都满足

f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则函数f(x) （ ）

(A)是奇函数 (B)是偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数

解：由f(－1)＝－f(1)＋f(－1)有f(1)＝0，而f(1)＝－2f(－1)，∴f(－1)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．

3.已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x|x 2－3x

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

第1章 函数的极限与连续

lim

例1．求

x 0

xx．

x 0

解：当x 0时，

lim

xx

lim lim1 1

x 0x 0xx，

当x 0时，

x 0

lim

xx

lim lim( 1) 1xx 0 xx 0

，

lim

由极限定义可知，

x 0

x

x不存在（如图）．

sinmx

例2．求x 0x（m是非零常数）．

解：令mx u，显然当x 0时u 0，于是

sinmxsinmxsinulim limm mlim mx 0x 0u 0xmxu．

2

lim(1 )x

x． 例3．求x

xt

2，当x 时，有t ， 解：令

lim

22 211

lim(1 ) lim[(1 )t]2 [lim(1 )t]2 e2

t t xtt原式x

x

x2 x

lim

x例4．求x 0．

解：

21 x 0x 02

x 0ax 1lim

例5．求x 0x．

x

解：令a 1 t，则x loga(1 t)，x 0时t 0，于是

ax 1ttlim lim lim lnax 0t 0log(1 t)t 0xa

lna

第2章 一元函数微分及其应用

解：f(x) 2x为初等函数，在其定义域

3

例1．讨论函数f(x) 2x在x 0处的可导性与连续性．

( ,

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

2014年10月竞赛辅导练习题（一）

一、极限与连续部分

21．求极限limxln(xsin)． （ ?x???1x1 ） 61 ） 62．求极限lim(x?x?x???332x2?x)． （ ?mnn?m??)m、n?N（且）． （ ） m?nnx?1xm?12x?111?n1e2)?(1?)n]． （ ） 4．求极限limn[(1?n??1?nn23．求极限lim(ex?e2x???enxx5．求极限lim()． （ ex?0n31n?12 ）

1?6．已知极限limx?0f(x)?1sinx2ln(x?1?x)2?b(b?0)，求常数a、n，使得当x?0时，

f(x)~axn． （ a?3b、n?3 ）

x?ax37．选择适当的a，为尽可能高阶的无穷小，b使得当x?0时，f(x)?arctanx?1?bx2并求阶数的最大值． (

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D