如何学好空间立体几何

2 0 1 3年

第2 1期

S C I E N C E&T E C HN O L OG Y I N F O R MA T I O N

o教学研究0

科技信息

如何学好立体几何邓贵元 (上杭县才溪中学，福建上杭 3 6 2 3 0 0 )立体几何研究的对象是空间图形 .学习立体几何是把空间图形画最后以符号语言严谨，规范简洁地进行表达。 在平面上进行研究 .这给立体几何的学习增加了难度 .如何突破平面三种数学语言 .尤其重要的是符号语言的运用 .在几何计算和推思维限制，再现空间的想象思维，是学生学习时的最大难点。要学好立理论证中要求学生要养成运用符号语言的习惯 .这样可使解题过程简体几何关键应注意以几点。 洁清晰、严谨规范。掌握好这三种数学语言，能形成正确运用数学语言进行数学交流表达的能力。

1明确学习目标

立体几何的初步学习，将从对空间几何体的整体观察人手，认识空间几何图形的结构特征，需要学生采用直观感知、操作确认、思维辩在学习立体几何过程中，学生可以利用笔、直尺、书之类的东西 . 证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质，注重培养和发展甚至用手掌、手指、教室中的桌椅、黑板等构建出一个空间图形的框空间想象能力推理论证能力运用图形语言进行交流的

立体几何

立体几何专题：空间角

第一节：异面直线所成的角

一、基础知识

1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a //a，b //b，相交直线a b 所成的

锐角（或直角）叫做 。 2.范围： 0,

2

3.方法： 平移法、问量法、三线角公式

（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一

个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：

可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos cos a,b

求出来

方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出

代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

(x1,y1,z1) (x2,y2,z2) co s

x1x2 y1y2 z1z2

x1 y1 z1

2

2

2

x2 y2 z2

222

（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于

斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos 1cos 2 cos 二、例题讲练

C

例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

专题十 空间向量与立体几何

【知识点总结】

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

?????OP??a(??R)

?????????????? ?????????????? OB?OA?AB?a?bBA?OA?OB?a?b;

;

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那

??么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。

??????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存

??在实数λ，使a＝λb。

??a//b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC <=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1) （4）与a共线的单位向

高中数学教学设计与反思

江西省龙南中学：张国辉

空间几何体的三视图及其表面积和体积

【教学目标】 一、知识目标

熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。 二、能力目标

先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。

三、德育目标

1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。 2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。 【教学重点】

观察、实践、猜想和归纳的探究过程。 【教学难点】

如何引导学生进行合理的探究。

【教学方法】

电教法、讲述法、分析推理法、讲练法 【教学用具】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】

［投影］本节课的教学目标

1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。 【学习目标完成过程】 一、复习提问

1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)? 2.三视图与其几何体如何转化? 二、新课讲解 ［设置问题］

例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。

［提出问题］

1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?

2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

专题八：立体几何

----空间位置关系

知识点：

（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：

⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：

⑷一个平面内的两

高三下期数学（文科实验班）教案（一）（学生卷）2010.3.14

专题一：空间角

一、基础梳理

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：(0,?2]。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作a?b。

（3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。

?直线和平面所成角范围：?0，?。

2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角， 且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角， 则有cos?1cos?2?cos? 。

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA