有理函数的积分例题

高等数学Ⅰ有理函数的积分 与积分表

一、有理函数的积分定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 即P(x) Q(x) a 0 x a1 xn n 1 m 1

a n 1 x a n bm 1 x bm

b0 x

m

b1 x

其 中 m 、 n 都 是 非 负 整 数 ； a 0 , a 1 , , a n 及

b 0 , b1 , , b m 都 是 实 数 ， 并 且 a 0 0 , b 0 0 .

假定分子与分母之间没有公因式(1 ) (2) n m , 这有理函数是真分式； n m , 这有理函数是假分式；

利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例x x 13

x 12

x

1 x 12

.

难点 将真分式化为部分分式之和.3

真分式化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式 ( x a ) ,则分解后为k

A1 (x a)k

A2 (x a)k 1

Ak x a A

, 其 中 Ai 都 是 常 数 .

x a 2 k (2)分母中若有因式 ( x px q ) ,其中p 4q 02

特殊地：k 1 , 分解后为

;

则分解

不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1．計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x)，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f(x)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f(x)为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

?sinxxdx；?e?x2dx；?1lnxdx；?dx1?ksinx22（其中0?k?1）等。

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明

（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

f(x)，若存在函数F(x)，使得该区间上每一点x处都有F?(x)

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

第七章 多元函数微积分

一、填空题 1．函数z?arcsin2．设z?xy?arcsin的定义域为（a＞0，b＞0）____________________。 ab?z1?________________________________。 ，则?xxy3．设z?y2x，则

?z?________________________________。 ?x4．设z?xy?x3，则

?z?z??____________________________。 ?x?y5．若f(x?y,x?y)?xy?y2，则f(x,y)?____________________。 6．limsinxy?________________________。

x?0xy?227．若z?x?y?f(x?y)且当y?0时z?x，则f(x)?________，z?________。 8．lim(1?x?ky??xy)?___________________。 yy?029．设二元函数z?ln(x?y)，则dzx?1?________________________。

10．设z?arcsin(xy)，则

?z?___________________。 ?y11．设f(x,y)?x?y?

考研资料

第一讲

第一章 函数、极限连续（予备知识）

重点：函数性质与函数的图形

函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.

一、函数

（一）函数的概念 1．函数的定义

【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作

y f(x),x D.

x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合 y|y f(x),x D 称为函数的值域.

xoy平面上点的集合 (x,y)|y f(x),x D 称为函数y f(x)的图形.

定义域D(或记Df)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它

们的定义域与对应法则都相同.

2．函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.

3．函数定义域的求法

由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求

微积分初步课程教学辅导

《微积分初步》期末复习典型例题

一、函数、极限与连续

（一）考核要求

1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法. 2.了解极限概念，会求简单极限.

3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题

1（1）函数f(x)?的定义域是 ．

ln(x?2)答案：x?2且x?3.

12（2）函数f(x)??4?x的定义域是 ．

ln(x?2)答案：(?2,?1)?(?1,2]

（3）函数f(x?2)?x2?4x?7，则f(x)? 答案：f(x)?x2?3

3??xsin?1,（4）若函数f(x)??x?k,?x?0x?0 ．

在x?0处连续，则k? ．

答案：k?1

（5）函数f(x?1)?x2?2x，则f(x)? ． 答案：f(x)?x2?1 （6）函数y?x?2x?3x?12的间断点是

高三数学 导数与积分经典例题以及答案

一. 教学内容：

导数与积分

二. 重点、难点： 1. 导数公式：

y?f(x)?c

f?(x)?0 f?(x)?n?xn?1

y?f(x)?xn

y?f(x)?sinx y?f(x)?cosx y?f(x)?ax y?f(x)?logax

2. 运算公式

f?(x)?cosx f?(x)??sinx f?(x)?axlna

f?(x)?1logae x[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

[f(x)?g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)?g?(x) [f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]?? 2g(x)g(x) 3. 切线，过P（x0,y0）为切点的y?f(x)的切线，y?y0?f?(x0)(x?x0) 4. 单调区间

不等式f?(x)?0，解为y?f(x)的增区间，f?(x)?0解为y?f(x)的减区间。 5. 极值

（1）x?(a,x0)时，f?(x)?0，x?(x0,b)时，f?(x)?0 ∴ f(x0)为y?f(x)极大值

（2）x?(a,x0)时f?(x)?0，x?(x0,b)时，f?(x)?0 ∴ f(x0)为y?f(x)的极小值。

第三章、复变函数的积分 习题课：

1、 分别计算沿（1）直线段；（2）单位圆（

（3）单位圆的右半圆的下列积分：

|z|?1）的左半圆；

I??|z|dz。

?ii

2、 计算积分：

I??Rezdz，

L在这里L分别表示：（1）单位圆（按反时针方向从1到1取积分）；（2）从1沿直线段到2。

3、 设函数

zzf(z)当|z?z0|?r0(0?r0?1)时是连续

的。令M(r)表示|f(z)|在|z?z0|?r?r0上的最

大值，并且假定

r???试证明

limM(r)?0。

r???Kr在这里

lim?f(z)dz?0

Kr是圆|z?z0|?r。

4、 如果满足上题条件的函数

析，那么对任何

f(z)还在|z?z0|?r0内解

r?r0，

?

5、 计算积分：

Krf(z)dz?0

1?|z|?2z4?1dz。

6、 设

f(z)及g(z)在单连通区域D内解析，证明：

??????

?f(z)g'(z)dz?f(z)g(z)|??f'(z)g(z)dz

在这里从的。

?到?的积分是沿D内连接?及?的一条简单曲线取

7、 计算积分： （1）

I??Cdz； （2）I?lnzdz，

?CzC表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分），而被积函

数分别取为按下列各