圆锥曲线定值例题及解析

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圆锥曲线考点例题与解析

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圆锥曲线考点——例题

考点一 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结

合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理

运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●典例探究 [例1]某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A ′是双曲线的顶点,C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点,B 、B ′是下底直径的两个端点,已知AA ′=14 m ,CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高

20 m. 建立坐标系并写出该双曲线方程. [例2]过点(1,0)的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为2

2

的椭圆C

相交于A 、B 两点,直线y =2

1

x 过线段AB

的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C 的方程

. [例3]如图,已知△P 1OP 2的面积为

4

27

,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过

数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

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2008年高考数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

一.知识要点

1.曲线方程

(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 1、“建”:建立坐标系;“设”:设动点坐标。 含 义 建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。 说 明 (1) 所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点。 (2) 没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系。 2、现(限):由限制条写出适合条件P的点M这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析件,列出几何等式。 的集合P={M|P(M)} 题意,使写出的条件简明正确。 3、“代”:代换 4、“化”:化简 5、证明 用坐标法表示条件常常用到一些公式。 P(M),列出方程f(x,y)=0 化方程f(x,y)=0为最简形式。 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 要注意同解变形。 化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:

圆锥曲线典型例题

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每天一有时间就写,吃饭的时候就边吃边看高考题,这种疯狂为一件事而努力的感觉真的很好!

今天先发辅导书开头部分的一小节,只是其中的一点点内容,不过其他部分也都是这种形式,其他的就不发了,主要是让大家看下这种形式好不好。

这本辅导书不是一个练习册,而是高中数学解题指导,我个人认为可以将其作为一个“字典”,里面涵盖了绝大部分常见题目的解决办法。

普通的辅导书对于题目只是枯燥套话性质的分析,但这本书的分析(也就是【黑夜语】以及答案解析中穿插的评论)却是我一个字一个字的心血,比如说答案是这么做的,那为什么想到这么做?别的辅导书没有讲,而我重点讲为什么这么做!

由于题量太大的话意义也不大,所以决定只选用10、11年高考题目,对于核心考点(比如圆锥曲线、数列等解答题),会选90%以上的题目,也就是说近两年基本所有该类高考题都会选中(除非某道题意义实在不大才不选),对于不是特别核心的知识,就会选40%-60%左右的题目。里面会著名是哪年哪地的考题,并且题号不变,这样大家可以根据其题号来大致明白此题的难度。(毕竟最后两道题往往是压轴题,前面的题难度会小一点。)

我有自信,如果能将这本书反复看个七八遍,对于里面的每一种情况都熟练到信手拈来的地步,对于里面的【黑夜

圆锥曲线典型例题讲解

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9.1 椭 圆

典例精析

题型一 求椭圆的标准方程

45

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和

325

,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 3

x23y23x2y2

【解析】故所求方程为+=1或+=1.

510105

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);(2)在求椭圆中的a、b、c时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上,抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1,C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上,也不在抛物线C2上.小明的记录如下:

x2y2

据此,可推断椭圆C1的方程为 . +=1.

126题型二 椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围;

(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 1

【解析】(1)e的取

圆锥曲线的定比分点

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一、圆锥曲线的中点弦问题:

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以

为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线中,以为

中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的

弦所在直线的斜率k=

。比如:

①如果椭圆是 (答:

弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程

);

②已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中

点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:

);

③试确定m的取值范围,使得椭圆上有不同的两点关于直线对

称(答:

);

特别提醒:因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、

对称问题时,务必别忘了检验

二 圆锥曲线的几何性质:你了解下列结论吗?

(1)双曲线

的渐近线方程为

(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为

为参数,≠0)。

如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为_______(答:

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相

应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛

第4讲圆锥曲线的定点与定值问题

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第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD与C、D两点,设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程; H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点,交yC轴与点P,记PM??1MF,PN??2NF.求证:λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点Q(1,0)作直线l(与x轴不垂直)与轨迹C交于M、N两点,与y轴交于点R.若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点,线段AB的长为23,33RM??MQ,RN??NQ,证明:???为定值.(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B,3. 在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆95右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y1?0,y2?0.

(1)设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹; (2)设x1?2,x2?13,求点T的坐标; (3)设t

高考圆锥曲线中及定点与定值问题(题型总结超全)

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..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

;圆

的左右焦点分别为

两点.

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得【答案】(1)

(2)

为定值;并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得

。设x轴上的定点为,可得

,由定值可得需满足

,解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为(Ⅱ)证明:

由题意设直线的方程为由设

消去y整理得

..

要使其为定值,需满足解得

.

.

故定点的坐标为

点睛:解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

圆锥曲线专解析

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名思教育圆锥曲线专题训练

一.解答题(共30小题)

1.在平面直角坐标系中,已知动点M(x,y),点A(0,1),B(0,﹣1),D(1,0),点N与点M关于直线y=x对称,且(1)求动点M所在曲线C的轨迹方程; (2)设直线l与曲线C交于G、H两点,且|GH|=

,求直线l的方程;

.直线l是过点D的任意一条直线.

(3)若直线l与曲线C交于G、H两点,与线段AB交于点P(点P不同于点O、A、B),直线GB与直线HA交于点Q,求证:

是定值.

,F是右焦点,A是右顶点,

2.如图,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=B是椭圆上一点,BF⊥x轴,|BF|=(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:x=ty+λ是椭圆C的一条切线,点M(﹣,y1),点N(,y2)是切线l上两个点,证明:当t、λ变化时,以 M N为直径的圆过x轴上的定点,并求出定点坐标.

3.已知椭圆C1:x+4y=1的左、右焦点分别为F1、F2,点 P是C1上任意一点,O是坐标原点,

=

+

,设点Q的轨迹为C2.

2

2

(1)求点Q的轨迹C2的方程; (2)若点 T满足:

=

+2

+

,其中 M,N是C2上的点,且直线 O M,O N的斜率之

积等于﹣,是否存在两定点 A,B,

高考圆锥曲线中及定点与定值问题(题型总结超全)

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专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

;圆

的左右焦点分别为

两点.

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得【答案】(1)

(2)

为定值;并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得

。设x轴上的定点为,可得

,由定值可得需满足

,解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为(Ⅱ)证明:

由题意设直线的方程为由设

消去y整理得

..

要使其为定值,需满足解得

.

.

故定点的坐标为

点睛:解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

圆锥曲线轨迹方程经典例题

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轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题:

1、 必修2课本P124B组2:长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动,求线段AB的中点M的轨迹方程:

必修2课本P124B组:已知M与两个定点(0,0),A(3,0)的距离之比为

1,求点M的轨迹方程;(一般地:必修2课2本P144B组2:已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m;讨论点M(x,y)的轨迹方程(分m=1,与m?1进行讨论)

2、 必修2课本P122例5:线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动,求AB的中点M的轨迹。

(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23。 (1)求圆心的P的轨迹方程;

(2)若P点到直线y?x的距离为

2,求圆P的方程。 2

如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解:设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR