武忠祥高等数学强化讲义

第 函数 极限 连续

第一节 函 数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性

定义：单调增： x1?x2?f(x1)?f(x2). 单调不减： x1?x2?f(x1)?f(x2). 判定：（1）定义：

(2）导数：设f(x)在区间I上可导，则 a) f?(x)?0?f(x)单调不减； b) f?(x)?0?f(x)单调增； 2)奇偶性

定义：偶函数 f(?x)?f(x); 奇函数 f(?x)??f(x). 判定：(1）定义：

(2）设f(x)可导，则：

a)f(x)是奇函数? f?(x)是偶函数；

b)f(x)是偶函数? f?(x)是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：f(x?T)?f(x) 判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性

1

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限

3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.lim

arctanx xln(1 2x)

3

x 0

lim

arctanx x

2x

3

x 0

16

（等价小量与洛必达）

2.已知lim

sin6x xf(x)

x

3

x 0

0，求lim

6 f(x)

x

2

x 0

解：x 0

lim

sin6x xf(x)

x

3

lim

6cos6x f(x) xy'

3x

2

x 0

lim

36sin6x 2y' xy''

6x6

x 0

lim

216cos6x 3y'' xy'''

6

x 0

216 3y'

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章

1 新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，

例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听

老师的讲解效果会更好。

严禁翻印、在上网任意传播！

第七章 多元函数积分学

§7.1 二重积分

（甲）内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

口诀（40

）：多重积分的计算，累次积分最关键。

模型I ：设有界闭区域

()()(){}x y x b x a y x D 21,|,??≤≤≤≤=

其中()x 1?，()x 2?在[]b a ,上连续，()y x f ,在D 上连续，则

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 2 ()()()()()??????==x x

b a D D dy y x f dx dxdy y x f d y x

2010考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

考研强化班高等数学讲义(一至三章)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数

3．反函数 4．隐函数

??x2n?1??(1) y?limfn(x), 例 f(x)?lim??2n??x? n??n????x?1??(2) y?limf(t,x)，例 f(x)?lim?t?x?sint??t?xsinx??xsint?sinx

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) y?(2) y?则

?xaf(t)dt

其中f(t)连续，则

dy?f(x) dx???2(x)1(x)f(t)dt

其中?1(x),?2(x)可导，f(t)连续，

dy?(x)?f[?1(x)]?1?(x) ?f[?2(x)]?2dx五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数y?f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f(x)?M，

则称f(x)在X上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对x?X，都

专升本高等数学样题一

一、填空题 1．函数f(x,y)?ln1?x?y的定义域是 . 2．若f(x)?xx，则limf(x)? ，limf(x)? ，limf(x)? .

x???0x???0x??0?2z 3．若?1，且当x?0时，z?siny，y?0时，z?sinx，则z? .

?x?y 4．设y1,y2是线性齐次方程：y???p(x)y??q(x)y?0的两个线性无关解，则

y?c1y1?c2y2(c1,c2是任意常数)是该方程的 .

二、单项选择 1．函数f(x)?sinx在x?0处 .

A．连续且可导 B．连续但不可导 C．不连续但可导 D．不连续不可导 2．

?x11(?2)exdx的值是 A．e2 B．e2?e C．e D．不存在 x111 3．下列极限中 是存在的.

x11x2A．lim B．lim C．lim D．limxsin

x??0x?yx??0x?yx??0x??0x?yx?yy??0y??0y??0y??0x4

4．展开成x的幂级数是

1?x2

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2010考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

考研强化班高等数学讲义(一至三章)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

3．反函数 4．隐函数

??x2n?1??(1) y?limfn(x), 例 f(x)?lim??2n??x? n??n????x?1??(2) y?limf(t,x)，例 f(x)?lim?t?x?sint??t?xsinx??xsint?sinx

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) y?(2) y?则

?xaf(t)dt

其中f(t)连续，则

dy?f(x) dx???2(x)1(x)f(t)dt

其中?1(x),?2(x)可导，f(t)连续，

dy?(x)?f[?1(x)]?1?(x) ?f[?2(x)]?2dx五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数y?f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f(x)?M，

考研资料共享 QQ776597299 新浪共享id：ncut20100930

2010考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

欢迎使用新东方在线电子教材

考研强化班高等数学讲义(一至三章)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

3．反函数 4．隐函数

??x2n?1??(1) y?limfn(x), 例 f(x)?lim??2n??x? n??n????x?1??(2) y?limf(t,x)，例 f(x)?lim?t?x?sint??t?xsinx??xsint?sinx

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) y?(2) y?则

?xaf(t)dt

其中f(t)连续，则

dy?f(x) dx???2(x)1(x)f(t)dt

其中?1(x),?2(x)可导，f(t)连续，

dy?(x)?f[?1(x)]?1?(x) ?f[?2(x)]?2dx五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数y?f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f(x)?M，

第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、

芜湖职业技术学院?

Wuhu Institute of Technology

毕业设计说明书

论 文 题 目基于PRO/E的可乐杯造型、模具设计与NC加工 系 别 机械工程系 专 业 数控技术 毕 业 生 学 号 80109435

及 姓 名 叶忠祥 指导老师 姓名 戴晓东

2011 年 5 月

1

芜湖职业技术学院

2010-2011年度毕业设计（论文）任务书

设计论文题目：基于PRO/E的可乐杯造型、模具设计与NC加工

设计人姓名：叶忠祥 班级：08数控4班

指导教师姓名：戴晓东

一、设计（论文）内容

1、根据所给的题目要求，用Proe软件进行造型设计； 2、完成数控加工工艺方案；

3、利用Proe软件设置加工参数及实体加工模拟，执行Proe后置处理产生NC程序；

4、利用宇龙仿真软件

目 录

第一讲 函数 极限 连续性 (1)

第二讲 导数与微分 (7)

第三讲 微分中值定理及导数的应用 (11)

第四讲 一元函数积分学 (15)

第五讲 微分方程 (20)

第六讲 多元函数微分学 (23)

第七讲 重积分 (28)

第八讲 曲线积分与曲面积分* (23)

第九讲 无穷级数*△ (38)

注：仅对数一要求的部分标有“*”，仅对数二，数三要求的部分相应标有“○”，“△”.

2015考研数学基础班高等数学辅导讲义

1

第一讲 函数、极限、连续性

一、函数

1. 函数

(1)函数的定义

设数集D R ?，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，简记为(),y f x x D =∈，其中x

称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记为f D ，()f D 为值域，记为f R .

(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则.

2. 函数的特性

(1)有界性：若?0>M ，对于?I x ∈，都有M x f ≤)(，则称)(x f 在I 上有界.

(2)单调性：设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ?，若对于?I x x ∈21,，当21x x <时，有)()(21x f x f <))()((21x f x f >，则称)(x f 在区间I