高考圆锥曲线大题题型归纳

2018年高考圆锥曲线大题

一．解答题（共13小题）

1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且并求该数列的公差．

2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且

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+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

++=．证明：||，||，||成等差数列，

+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

++=，证明：2||=||+||．

3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．

（1）求C的轨迹方程；

（2）动点P在C上运动，M满足

4．设椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

=2

，求M的轨迹方程．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

第2页（共22页）

5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有

两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方

2018年高考圆锥曲线大题

一．解答题（共13小题）

1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且并求该数列的公差．

2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且

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+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

++=．证明：||，||，||成等差数列，

+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．

++=，证明：2||=||+||．

3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．

（1）求C的轨迹方程；

（2）动点P在C上运动，M满足

4．设椭圆C：

+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

=2

，求M的轨迹方程．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

第2页（共22页）

5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有

两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方

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， 0)、F2(1， 0),短轴的两个端1．（20XX年上海市春季高考数学试卷）.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(?1 B2(1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的点分别为B1、直线l与椭圆C相交于P、 Q两点,且F1P?FQ1,求直线l的方程.

x2y22．（20XX年高考四川卷（理））已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?1,0),F2(1,0),

ab41且椭圆C经过点P(,).(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N33211??两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程. 222|AQ||AM||AN|

xy3．（20XX年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆C:2?2?1(a?b?0)的

ab左、右焦点分别是F1,F2,离心率为223,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ

考前帮你归纳总结（三）：直线圆锥曲线常见的几种题型

一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:

1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n 的区别）

2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组；

4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）

???????? ?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?x1x2?y1y2?0>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共线问题”

???????? （如：AQ??QB ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型

直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换

（7）x,y ，k(斜率)的取值范围

（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：

1、中点坐标公式：12

12

,y 2

2

x x y y x ++==

，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中

点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b

圆锥曲线

1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R． (1) 求点P的轨迹E； (2) 若m?25，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =35．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为?，且tan??21，l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且2PQ:QF2?2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|OM|?5,ON?25OM. 过点M作MM1⊥y轴于M1，5过N作NN1⊥x轴于点N1，OT?M1M?N1N. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）. （1）求曲线C的方程；

（2）证明不存在直线l，使得|B

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识： 1、中点坐标公式：x2、弦长公式：若点则

?x1?x2y?y,y?1222，其中x,y是点

A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。

A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，

y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者

111AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2kkk12)[(y?y)?4y1y2]。 122ky?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1

???0

?(1?3、两条直线l1:v2两条直线垂直，则直线所在的向量v1?4、韦达定理：若一元二次方程ax常见的一些题型：

2bc?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则x1?x2??,x1x2?。

aa题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

x2y2??1始终有交点，求m的取值范围 例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆

圆锥曲线

1. 【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为

1，E的右焦点与2抛物线C:y2?8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|? ( ) （A）3 （B） 6 （C） 9 （D）12

x2y22.【2015高考重庆，文9】设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点是F，左、右顶点分别

ab是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点，若A1B?A2C,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A)?12 (B) ? (C) ?1 (D) ?2 222y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的3.【2015高考四川，文7】过双曲线x?3两条渐近线于A,B两点，则|AB|?( )

(A)

43 (B) 23 (C) 6 (D) 43 34.【2015高考陕西，文3】已知抛物线y2?2px(p?0)的准线经过点(?1,1)，则抛物线焦点坐标为（ ）

A．(?1,0) B．(1,0) C

难点23 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●难点磁场

x2y21.(★★★★★)双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|?4b2＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________.

2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

●案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.

(2)求冷却塔的容积(精确到10 m2

5.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

1.(2017河南郑州二模,文20)已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切. (1)求圆心M的轨迹方程;

(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.

2.(2017福建厦门一模,文21)已知椭圆Γ:+y=1(a>1)与圆E:x+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D. (1)求椭圆Γ的离心率;

(2)过点D的直线交椭圆Γ于M,N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN'过定点,并求该定点坐标.

3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y=8x的焦点相同,F1,F2为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.

22

2

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)+(y-y0)=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|+|OB|是否为定值,若是,求出其值;若不是,请说明理由.

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2

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4.(2017吉林东北师大附中三模,文20)设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a