射影几何教材

前 言

射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。

1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义

定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。

定义1′ 完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

河北师范大学2012级数学专业14-15-2学期

中学学科教材分析与课堂教学实践

年 级：_ __ 2012级 学 号：___2012012823____ 姓 名：_ ___ 王宇 日 期： 2015年10月23日

高中立体几何部分的教材分析

一.教材分析的理论

1.教材分析的内容

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。《立体几何初步》这部分内容，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的。

本文研究的是普通高中课程标准实验教科书《数学2》的立体几何部分。 2.教材分析的方法

教材分析的方法，经常沿用的有知识分析法，心理分析法和方法论分析法。 （1）知识分析法。知识分析首先要确定教材中的一般知识、重要知识、重点知识和扩展、应用性知识等，进而根据这些知识的内在联系，形成知识网络，必要时整理成知识

*欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 相似三角形------射影定理的推广及应用

欧阳光明（2021.03.07）

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理

射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD ２＝ＢＤ?AD 、

ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。

二、变式推广

１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为

高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ

发表于 2010-11-4 19:00 | 只看该作者 [医学资讯] 手机发射塔对人的危害

最近在我家附近安装一个手机信号发射塔，上网查了一些资料，它对人的幅射挺大的。把这些资料和给大家看一下。我们要是生活在幅射的环境中对身体肯

定有害。

辽宁本溪一小学“辐射”事件调查

近日，据某媒体报道，辽宁省本溪市明山区春明小学学生家长联名反映，称校园内手机信号发射基站导致学生无故流鼻血、视力下降、记忆力减退，附近

居民也受到辐射影响。

据记者观察，学生家长所说的手机信号发射塔建在春明小学教学楼的右侧。借助教学楼西墙与校园围墙围成一个小院，发射塔基座就建在小院里。小院的大门只有门框，没有门扇。该基站北侧10米是春明小学的4层教学楼；东侧和南侧是操场；西侧15米是4

层居民楼。

发射基站缘何建在校园内？

从本溪市教育局上报给辽宁省教育厅的一份情况说明中，记者了解到春明小学校园内手机信号发射基站建设的全过程：2004年8月，联通公司工程部负责经理到春明小学与学校领导商谈在校园内西侧建一个

发射基站。当时，学校并没有同意此事，联通公司负责同志出示了本溪市zhengfu办公厅有关文件，并且出示了省环保局就本钢技校基站（原基站在本钢

抓住新教材特点 重视几何入门教学

新教材最显著的特点就是让学生自主探索，经历体验和感受，获得必要的知识；体现学生主动学习过程，以自己的体验获取知识与技能。如何根据新教材特点，抓好几何入门教学，笔者就自己的教学实践，谈

谈四个方面的尝试，请同行们指教。 1.激发兴趣 清除畏惧感

初一学生对几何的认识模糊不清，加上耳闻高年级学生几何难学，容易生“未学先怕的心理”。入门教学中要帮助学生树立对几何的正确认识，调动学好几何的积极性。如：从小学过的线段、三角形、正方形、圆柱图形以及面积和体的计算，说明早已学过了一些几何知识。学生对几何就有一种“老朋友”的亲切感。然后鼓励学生只要勤奋努力地学习，我们完全可以把它学好，树立学几何的信心。进一步学习几何后，可以测量古塔的高度、准确画出国旗上的五角星、甚至能计算出隔河两地间的距离，让学生了解几何的作用。这样，抽象的几何变得生动、有趣，学有所用。学生自然对它产生浓厚的兴趣，激发了求知欲。

2.引用实例 丰富感性认识

根据初一学生年龄，能力特点，对点、线、面、体以及几何图形、平面图形、立体图形等概念，教学中要借助于教具、模型、实物、图形等具体描述，先得到直观的直观的感性认识，在感

第二章 射影映射

本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。

§1透视

透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。

定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。如图2.1记成

?(y,z,u,v???)?a(?,?,?,?,???)

定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作

?(a,b,c???)???(a?,b?,c?,???)或?(a)???(a?)，如图2.2

?S对偶定义：

图2.1

线束s和s’的对应直线的交点在一直线?上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线?叫做透视轴。记作

s(?,?,?,???)?s?(??,??,??,???)或s(?)?s?(??)，如图2.3.

????

图2.2 图2.3

两个点列射影的,记作?(a)???(a?)；两个线束射影的,记作s(?)?s?(??)

看图2.2,如果

第二章 射影映射

本章将阐明一维射影变换、射影映射和二维射影变换的几何意义；研究它们各有哪些类型；并对其中比较重要的几种特殊类型进行较深入的讨论。

§1透视

透视是一个很简单但又最基本的射影映射。一般非透视的射影变换、射影映射可以用透视来表示。

定义 如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的,则这个对应叫做透视对应,点列与线束叫做透视的,或配景。如图2.1记成

?(y,z,u,v???)?a(?,?,?,?,???)

定义 点ξ和ξ’的对应点的连线交于一点s,也就是这两个点列与同一线束s成透视,则这两个点列叫做透视点列,点s叫做透视中心，记作

?(a,b,c???)???(a?,b?,c?,???)或?(a)???(a?)，如图2.2

?S对偶定义：

图2.1

线束s和s’的对应直线的交点在一直线?上,也就是这两个线束与同一点列透视,则这两个线束叫做透视线束。直线?叫做透视轴。记作

s(?,?,?,???)?s?(??,??,??,???)或s(?)?s?(??)，如图2.3.

????

图2.2 图2.3

两个点列射影的,记作?(a)???(a?)；两个线束射影的,记作s(?)?s?(??)

看图2.2,如果

1.(人教A版，必修2.P17.第4题)图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称. 变式题1.如图1-1是一个几何体的三视图(单位：cm)(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积;(Ⅲ)设异面直线 与 所成的角为 ，求 . 解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1-2所示.(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱.由于底面 的高为1，所以 .故所求全面

七、《立体几何》变式题

命题人：黄埔区教育局教研室 肖凌戆． 2007.5

1．（人教A版，必修2．P17．第4题）

图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA 与BC 所成的角为 ，求cos ．

图1－1

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图1－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面 ABC的高为1，所以AB 故所求全面积S 2S ABC SBB C C 2SABB A

图1－2

1

2 2 1 3 2 2 3 8 (cm2)．

2

1.(人教A版，必修2.P17.第4题)图1是一

*欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 相似三角形------射影定理的推广及应用

欧阳光明（2021.03.07）

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理

射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高， 则有ＣD ２＝ＢＤ?AD 、

ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。

二、变式推广

１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为

高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ