概率论第四章随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望 §4.2 方差

一、填空题

1. 同时投掷三个骰子直到3颗骰子出现的点数之和是奇数时为止，问所需投掷次数的平均值为 2 ；

2.已知随机变量X的分布律为:

X?xi 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.2 4 0.3 P?X?xi? 则Y?g(X)?5X2?X?1的期望E(Y)? 37.7 ；

3.已知随机变量X~B?n,p?,E(X)?2.4,D(X)?1.44,则二项分布的参数为 n? 6 , p? 0.4 ；

4. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E(X?1)(X?2)?2，则?? 2 ； 5. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e?2X)? 4/3 ； 6. 若X、且E(X)?2,E(Y)?5,则E(3X?5Y)?–19 Y是两个相互独立随机变量，.若D(X)?2,D(Y)?5,则D(3X?5Y)? 143 ；

7.已知连续型随机变量X的概率为f(X)?1 ,X的方差为 0.5 ；

8. 设随机变量X的概率分布为P?X?k??二、选择题

Ck!1??x?2x?12e,则X的数学期望为

，k?0,1,2,?，

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

第四章 随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面 地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问 题中,这样的全面描述并不使人感到方便.

已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如 果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要 比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就 可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产 蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们 的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握 ,又难以迅速地作出判断.

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

§1 随机变量的数学期望§1.1 离散型随机变量的数学期望 例：有A,B两射手，他们的射击技术如表所 示，试问哪一个射手本领较好？射手名称 击中环数 概率 8 0.3 A 9 0.1 10 0.6 8 0.2 B 9 0.5 10 0.3

概率论与数理统计(苏德矿版)课件

例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手 表的日走时误差,其数据如表:日走时误差xk 只数Nk -2 3 -1 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5

则抽查到的100只手表的平均日走时误差为x

xk

k

Nk

N

( 2) 3

武汉长江工商学院概率论与数理统计12级电商试题答案

第四章 随机变量的数字特征试题答案

一、选择（每小题2分）

1、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D） A. E（X）=0.5，D（X）=0.5 B. E（X）=0.5，D（X）=0.25 C. E（X）=2，D（X）=4 D. E（X）=2，D（X）=2 2、设随机变量X与Y相互独立，且X~N（1，4），Y~N（0，1），令Z?X?Y，则D（Z）= （ C ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 3、已知D（X）=4，D（Y）=25，cov（X，Y）=4，则?XY =（C） A. 0.004 B. 0.04 C. 0.4 D. 4

4、设X，Y是任意随机变量，C为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A． D（X+Y）=D（X）+D（Y） B． D（X+C）=D（X）+C C． D（X-Y）=D（X）-D（Y） D． D（X-C）=D（X）

x?2?0,?x?5、设随机变量

随机变量的数字特征章节测试题

一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝( ) A．2

B．8 C．18

D．20

45

2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的

4值分别是( )

1

A．50，

4

13

B．60， C．50，

44

3

D．60，. 4

3．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )

A．68.26%

B．95.44% C．99.74%

D．31.74%

4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）

Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小

Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同

5．设随机变量X和Y独立同分布，若记随机变量U?X?Y,V?X?Y，则随机变量U与V必然（ ）

Ａ．不独立

Ｂ．独立

Ｃ．相关系数不为零

Ｄ．相关

第四章随机变量的数字特征

§4.1数学期望§4.2方差

二、计算下列各题

1.设球直径的测量值在 a,b 上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。

1

,a x b

解设球的直径为X,其概率密度为f(x) b a

0，

其它 x3

则球的体积Y g(x) ,

6

b 1 1

E(Y) E g(x) x3 x4

a6b a6b a4

b

a

a b a2 b224

11

2.设随机变量X服从 , 上的均匀分布，y g x

22

lnx,x 0

,求

0, x 0

Y g(x)的数学期望和方差。

11

1, x

X的概率密度f(x) 22，

0, 其它

解

E(Y) E g x lnxdx

12

1 ln2

,2

ln2 1, D Y

1

ln2 2 1ln2 3。424

EY

2

1

2

ln

2

2

ln2 xdx

2

3.在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。

解:

以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置，

∴X,Y U(0,a)，

1

,x (0,a)

，fX(x) a

0, 其它 1 1

,y (0,a) ,x,y (0,a)

，f

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

关于随机变量的研究，是概率论的中心内容．对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随

象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．

为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量

* 常见的两类试验结果：示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳

性，阴性）…

* 中心问题：将试验结果数量化

定义.果量X是定义在S上的一个单值实值函

。

实例1次，观察他是否击中目标的情况

用

表示射中目标的次数

用X

,

X是一个变量，它的取值决定于试验结果（样本点），一个样本点对应X的一个值.故X是定义在

它的定义域为S，值域为R={0,1,2,3,4}

现该射手不断向目标射击, 直到击中目标为止,则,

)(所需射击次数=e X 是一个随机变量.

且X (e ) 的所有可能取值为:

.

,3,2,1

实例2则

是一个随机变量的所有可能取值为:

此随机变量的取值也有一定的概率规律.

(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律

但它与普通的函数有普通函数是定义在实数轴上的,而素不一定是实数).

说明

(1)

随机变量通常用大写字母等表示

有了随机变量，随机试验中的各种事件，引入随机变量的意义

叫次数用X 表

青岛大学学士学位论文

随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）

及其应用

学 院： 数学与统计学院 姓 名： 宋飞 专 业： 信息与计算科学 学 号： 201341702053 指导教师： 宋丽娜 职 称： 副教授

青岛大学学士学位论文

随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用

摘要：伴随着人类思想的进步与发展，实际问题的概率化思想已经深刻的融入在

了生活的方方面面。然而，在很多事件发生的可能性的层面上来说，其结果往往会呈现出不确定性，在很多次重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们将其称为随机现象。把每件事情的发生与否抽象成随机变量，于是在某些实际问题或者理论问题中人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数，这种由随机变量的分布所确定的，能够描述随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本文对随机变量的几个重要的数字特征（包含数学期望、方差、协方差）进行了相应的研究。在探究求每个不同的数字特征所各

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布

关于随机变量的研究，是概率论的中心内容．对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随

象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．

为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量

* 常见的两类试验结果：示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳

性，阴性）…

* 中心问题：将试验结果数量化

定义.果量X是定义在S上的一个单值实值函

。

实例1次，观察他是否击中目标的情况

用

表示射中目标的次数

用X

,

X是一个变量，它的取值决定于试验结果（样本点），一个样本点对应X的一个值.故X是定义在

它的定义域为S，值域为R={0,1,2,3,4}

现该射手不断向目标射击, 直到击中目标为止,则,

)(所需射击次数=e X 是一个随机变量.

且X (e ) 的所有可能取值为:

.

,3,2,1

实例2则

是一个随机变量的所有可能取值为:

此随机变量的取值也有一定的概率规律.

(2) 随机变量的取值具有一定的概率规律

但它与普通的函数有普通函数是定义在实数轴上的,而素不一定是实数).

说明

(1)

随机变量通常用大写字母等表示

有了随机变量，随机试验中的各种事件，引入随机变量的意义

叫次数用X 表

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1特征函数

内容提要

1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下

(),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞

?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的.

2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭;

(3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??=

(4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+

(5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =?

(6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续

(7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数n t t t ,,,21 和n 个复数n z z z ,,21,有 ;0)(11≥-∑

第四讲 数字特征与极限定理

考试要求

1．理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.

2．会根据随机变量

YX的概率分布求其函数g(X)的数学期望Eg(X)；会根据随机变量X和

的联合概率分布求其函数g(X,Y)的数学期望Eg(X,Y). 3．了解切比雪夫不等式.

4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的大数

定律)

5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维—林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率

一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义(计算公式)

离散型 P?X?xi??pi, E(X)?连续型 X~f(x), E(X)??xpiii

???xf(x)dx

2??22方差：D(X)?E(X?E(X))?E(X)??E(X)?

标准差：

2. 期望的性质：

D(X),

1° E(C)?C,E(E(X))?E(X) 2°

E(C1X?C2Y)?C1E(X)?C2E(Y)

3° 若X与Y独立，则E(XY)?E(X)E(Y)