定微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b

(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b

b

a

说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.

首页

上页

返回

下页

结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质1证

∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

b

b

b

∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n

λ→ 0 i=1

=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质2证b

∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )

2013年春季

定积分与微积分的基本定理

1、定积分概念

定积分定义：如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b，将区间[a,b]等分成几个小区间，在每一个小区间[xi?1,xi]上任取一点

?i(i?1,2,?,n)，作和

f(?i)?xi??b?af(?i)ni?1，当n??时，上述和无限接近某个常数，

n[x,x],]这个常数叫做函数f(x)在区间[ab上的定积分，记作i?1i?baf(x)dx，即

?baf(xdx)?b?alimf?i()?n??ni?1，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[a,b]叫做积分区间，函

n数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

2、定积分性质 （1）（2）（3）

???babacakf(x)dx?k?f(x)dxab；

b[f1(x)?f2(x)]dx??bf(x)dx?a1?af2(x)dxbf(x)dx??bcf(x)dx??af(x)dx(a?c?b)3、微积分基本定理

'f(x)[a,b]

深大 高数 课件

第二节 微积分基本公式(下)三、牛顿 – 莱布尼兹公式

第五章

深大 高数 课件

牛顿—莱布尼茨公式设F ( x ) 是f ( x )的一个原函数, f ( t )dt 也是f ( x )的一个原函数.x a xa

f (t )dt F ( x ) C .

令 x a, 得 C F (a ),x a

0

a

a

f (t )dt F (a ) C .

f (t )dt F ( x ) F (a ).

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

深大 高数 课件

定理 ：设函数 f ( x )在[a , b]上连续，F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则

b a

f ( x ) dx F (b) F (a ) (牛顿-莱布尼兹公式)

上式说明：连续函数在一个区间上的积分等于 它的一个原函数在积分区间端点的改变量。意义：牛顿-莱布尼兹公式沟通了积分和(反) 导数这两个微积分学中最基本的概念，因此也 称为微积分基本公式。 另一种形式： F (b) F (a )

b a

F ( x ) dx .

深大 高数 课件

a f ( x )dx F (b)

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

所有微积分公式《全》

·两角和与差的三角函数

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ

考研数学：微积分公式汇总

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

第 2 页 共 2 页

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

第 3 页 共 3 页

凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！

第 4 页 共 4 页

一分耕耘一分收获。加油！

第13讲 定积分与微积分基本定理

[最新考纲]

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

nb－a

?f(ξi)Δx＝? nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数i＝1i＝1

b－a

? ni＝1

n

n

叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝

?a?af(ξi)．

(2)定积分的几何意义

bb

①当f(x)≥0时，定积分?bf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝

?af(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)

②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?bf(x)dx表示介于x

?a轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，

即?bf(x)dx＝A1＋A3－A2. ?a2．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)． ?a?

四、基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1)

(C)??0 (3) (sinx)??cosx (5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

xx (9)

(a)??alna (log1ax)?? (11)

xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设

u?u(x)，

v?v(x)都可导，则

（1） (u?v)??u??v? （2）（3）

（4）(uv)??u?v?uv? 反函数求导法则

(x?)???x??1 (cosx)???sinx

(cotx)???csc2x

(cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2

(arccotx)???11?x2(Cu)??Cu?（C是常数）

???u??u?v?uv??v

第13讲 定积分与微积分基本定理

[最新考纲]

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

nb－a

?f(ξi)Δx＝? nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数i＝1i＝1

b－a

? ni＝1

n

n

叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝

?a?af(ξi)．

(2)定积分的几何意义

bb

①当f(x)≥0时，定积分?bf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝

?af(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)

②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?bf(x)dx表示介于x

?a轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，

即?bf(x)dx＝A1＋A3－A2. ?a2．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)． ?a?

微积分基本定理

邹城实验中学：单飞

复习1:积分上限

积分和b n

即A f ( x)dx lima积分下限

n

) b - a) / n f ( (i 1 i

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习：2、定积分的几何意义是什么？1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时，那么： 定积分

b

a

f ( x )dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

b

a

f ( x )dx S1 S 2 S 3

说明：f ( x) 0, f ( x ) 0,

a f ( x )dx A a f ( x )dx Ayb

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1a

A3

A2b

0

A4

b

x

a f ( x )dx A1 A2 A3 A4

复习3: 定积分的简单性质(1) kf ( x)dx k f ( x)dx (k为常数)a a b b

(2) [f1 ( x) f 2 ( x)]dx f1 ( x)dx f 2 ( x)dxa