线性方程解的理论

4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)

[教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5.介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用.

[教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标]

认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5.知道刘维尔公式及其应用.

1. 认识n阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.

dnxdn?1xdx称n?a1(t)n?1???an?1(t)?an(t)x?0为n阶齐次线性微分方程; dtdtdtdnxdn?1xdx称n?a1(t)n?1???an?1(t)?an(t)x?

遗传算法解非线性方程组的Matlab程序

程序用MATLAB语言编写。之所以选择MATLB，是因为它简单，但又功能强大。写1行MATLAB程序，相当于写10行C++程序。在编写算法阶段，最好用MATLAB语言，算法验证以后，要进入工程阶段，再把它翻译成C++语言。 本程序的算法很简单，只具有示意性，不能用于实战。

非线性方程组的实例在函数(2)nonLinearSumError1(x)中，你可以用这个实例做样子构造你自己待解的非线性方程组。

%注意：标准遗传算法的一个重要概念是，染色体是可能解的2进制顺序号，由这个序号在可能解的集合(解空间)中找到可能解

%程序的流程如下：

%程序初始化，随机生成一组可能解(第一批染色体) %1: 由可能解的序号寻找解本身(关键步骤)

%2：把解代入非线性方程计算误差，如果误差符合要求，停止计算 %3：选择最好解对应的最优染色体

%4：保留每次迭代产生的最好的染色体，以防最好染色体丢失

%5: 把保留的最好的染色体holdBestChromosome加入到染色体群中 %6: 为每一条染色体(即可能解的序号)定义一个概率(关键步骤) %7：按照概率筛选染色体(关键步骤) %8：染色体杂交(关键步骤) %9：变异

第一章 解线性方程组的克拉默(Gramer)法则

解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r，它的两端电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式 ir?v

求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元，二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。

线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 对于二元线性方程组

?a?11x?1a12x?2b?a21x?1a2x?b

222当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1a22?a12b2a11b2?a21b1?ba11a2?2a1a x2?221a11a2?2a1a 1221我们称a11a22?a12a21为二级行列式，用符号表示为

a11a22?a12aa1221?a11a

21a22于是上述解可以用二级行列式叙述为：

解线性方程组的几种迭代算法

内容摘要:

本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题.

关键词:

线性方程组 迭代法 算法 收敛速度

Several kinds of solving linear equations

iterative algorithm

Abstract:

In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the alg

解线性方程组的几种迭代算法

内容摘要:

本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题.

关键词:

线性方程组 迭代法 算法 收敛速度

Several kinds of solving linear equations

iterative algorithm

Abstract:

In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the alg

本文建立了一类新的解非线性方程一般高阶解法.与牛顿方法和其它方法相比,收敛阶数和效率指数均有所提高.

2 12生 0

青海师范大学学报 (自然科学版 )J u n l fQig a r lUn v riy Na u a ce c ) o r a n h iNo ma ie st ( t r l in e o S

第 2期

2 2 O1 N O. 2

一

类解非线性方程的高阶解法赵 宁(海民族大学数学与统计学院，海西宁青青 8 00 ) 1 0 7

摘

要：文建立了一类新的解非线性方程一般高阶解法 .牛顿方法和其它方法相比，本与收敛阶数和效率指数均有所提高

关键词：顿方法；线性方程；阶迭代方法牛非高中图分类号： 4 . O2 1 7文献标识码： A文章编号：0 1 5 2 2 1 2 0 1— 0 1 0—7 4 (0 2 0— 0 1 6 J

X_n-一 41一

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() 3

一 z一 H c

其中 H( )为充分光滑的待定函数，书写方便，们记 H (,) H口 a, (,) H (,) x,为我 aa, (,) H口 a, aa,H (,) H (,) H (,) H (,)和 H一 a a a口， a口， a口， a口 (,)分别为 H,,, H

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

线性方程组解的情况及其判别准则

摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。

关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩

Abstract: In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra. This article has researched the development of system of linear equations

线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

线性代数教师 王耀东 电话63369207 手机15010837966 E-mail wyd@ 答疑地点 理1305M 答疑时间：星期日12:30-14:00 我的百度文库

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线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

§5 线性方程组解的一般理论

一、线性方程组有解判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构

线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

一、线性方程组有解判定定理

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , n aij x j bi ,1 i m. j 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm . a11 a12 a1n b1 a11 a12 a1n a a a22 a2 n A 21 a22 a2 n b2 . 21 A