带余除法应用

带余除法

我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引进整除的概念；

定义 设a,b是任意两个整数，其中b?0，如果存在一个整数q使得等式

a?bq ?1? 成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数.

如果?1?里的整数q不存在，我们就说b不能整除a或a不被b整除，记作b？a.

整除这个概念虽然简单，但却是数论中的基本概念，我们很容易从定义出发，证明下面那些关于可除性的基本定理.

定理1 若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数，也就是

b趑a,cb?c a.

a,c就是说存在两个整数b证 b趑b1，a1使得

a=a1b,b=b1c

成立，因此

a=?a1b1?c.

a. 证完 但a1b1是一个整数，故c? 定理2 若a,b都是m的倍数，则a?b也是m的倍数.

证 a,b是m

第七节 带余除法

内容讲解

用一个整数a去除整数b，且a>0，则必有并且只有两个整数q与r，使b=aq+r，?0≤r

b，b不能被a整除，或者说，b除以a有余数．

利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b被正整数a除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中．

我们还关心带余除法中的另一个问题，即是当两个整数a、b去除不为0?的同一整除n时，余数相同，称为同余问题．一般地，记为a≡b（mod n）．记号“≡”读作“同余于”，“mod”读作“模”，此式读作“a同余于b模n”或“a与b对模n?同余”． 例如：32≡7（mon 5），是由于32与7分别被5除，余数都是2．读作“32与7对模5同余”．

在同余问题中，常用的性质有： （1）同一模的同余式可以相加，就是 如果a1≡b1（mod n），a2≡b2（mod n）， 那么a1+a2≡b1+b2（mod n）

奥数精品

带余除法

知识框架

带余除法的定义及性质

1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质

⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键

理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

例题精讲

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【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于

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带余除法

知识框架

带余除法的定义及性质

1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质

⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键

理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

例题精讲

奥数精品

【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于

一个题根从小学讲到高中

----------由带余除法到中国剩余定理

（一）什么是带余除法？

顾名思义,带余除法就是两个整数相除,除不尽而带有余数. 例如:7÷3=2…1.

这个式子的含义是：7除以3是除不尽的,运算的结果是商2余1. 这个式子带有省略号,不算太清楚,所以一般将其改写为;

7=3×2+1.

一般地,如果被除数是b,除以除数a后商数是q,余数是r,则有;

b?aq?r这个式子

题,就主要讲解并消化这个公式.

???

???,是带余除法的基本公式,也是研究整除问题的题根.我们这个专

千万别不屑一顾:无非是带余除法么？有什么高深莫测的？ 那么我且问你,以下几个问题你真的清楚吗？ 1.余数的基本性质.

问题1.如果除数是5,那么余数有哪几种可能？

【解析】直接举例,5,6,7,8,9除以5,余数分别为0,1,2,3,4; 以下10,11,12,13,14除以5,余数仍为0,1,2,3,4;

可以预见,再往下推理,余数仍然逃不出0,1,2,3,4这5个数的范围. 这就是说,任一整数除以5,其余数只有5种可能.

1

一般地说,任一整数除以正整数n,其余数有且只有0,1,2,…,n-1共n种可能. 特别提醒,余数必须是自然数而且比除数要小

●

解题技巧与方法

●静

●

多项或 除法獬高次余◎黄嘉威 (暨南大学信息科技学院数学系，广东 广州 5 1 0 6 3 2 )

【摘要】本文研究了高次同余的计算问题，利用公式和递推的方法，推广了多项式除法的结果。

除P .展开即：

【关键词】同余；费马小定理；组合数；多项式1 .引言

’

定理2 . 1 X m p s∑ (一 1 ) c . m p - ( p - 1 ) i ( m o d p )用一个例子比较一下这个递推式与欧拉定理 aE 1 (m0 d n) .¨

由费马小定理开始高次同余有了计算方法，欧拉定理

葺 2x一

(m0 d 7 ) 4 4暑

(m 0 d 72 )

把它推广到合数情况， C a r m i c h a e l函数更使同余运算更进一

前者能在更小次方的情况下递推，更多的情况下 m p小于( P一1 ) P一+m.

步.

本文将透过多项式除法让高次同余运算得到更大的发展.

要是用前者递推高次同余，没能一步过的话会很麻烦，欧拉定理却能一步过 .。 0o

2 .费马小定理的推广费马小定理，即当。与 P互素，且 P为素数时，有o1(m o d D) .

掌 2x 9 4一 B 8三 3 x 8 8— 2x B 2鲁…

●

解题技巧与方法

●静

●

多项或 除法獬高次余◎黄嘉威 (暨南大学信息科技学院数学系，广东 广州 5 1 0 6 3 2 )

【摘要】本文研究了高次同余的计算问题，利用公式和递推的方法，推广了多项式除法的结果。

除P .展开即：

【关键词】同余；费马小定理；组合数；多项式1 .引言

’

定理2 . 1 X m p s∑ (一 1 ) c . m p - ( p - 1 ) i ( m o d p )用一个例子比较一下这个递推式与欧拉定理 aE 1 (m0 d n) .¨

由费马小定理开始高次同余有了计算方法，欧拉定理

葺 2x一

(m0 d 7 ) 4 4暑

(m 0 d 72 )

把它推广到合数情况， C a r m i c h a e l函数更使同余运算更进一

前者能在更小次方的情况下递推，更多的情况下 m p小于( P一1 ) P一+m.

步.

本文将透过多项式除法让高次同余运算得到更大的发展.

要是用前者递推高次同余，没能一步过的话会很麻烦，欧拉定理却能一步过 .。 0o

2 .费马小定理的推广费马小定理，即当。与 P互素，且 P为素数时，有o1(m o d D) .

掌 2x 9 4一 B 8三 3 x 8 8— 2x B 2鲁…

知识点、典例、练习

应用同余问题

一、基础知识

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：

两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些：

性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）

性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。

同余的性质及应用

1 引言

数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.

在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.

我国古代孙子算经里已经提出了同余式xb1(modm1),xb2(modm2),?,

xbk(modmk)这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数

学九章》中提出了同余式x?Mi1(modmi), i?1,2,...,k, mi是k个两两互质的正整数，

m?m1m2...mk,m?miMi的一般解法.

同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等

第十二讲 带余除法

12．1一般余数问题 [同步巩固演练]

1． 两数相除，商是12，余数是8，被除数比除数多822，求除数。 2． 一个两位数除321，余数是48，这个两位数是多少？ 3． 641除以一个两位数，余数是46，这个两位数是多少？ 4． 1170除以一个两位数，余数是78，这个两位数是多少？

5． 244除以一个两位数的余数是13，则符合条件的所有两位数有哪些？ 6． 109除以一个两位数的余数是4，这些两位数有哪些？ 7． 哪些自然数除以6所得的商与余数相同？

8． 一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7, 被9除余8,被10除余9,求出这样的四位数。

9． 一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？

10．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？

11．整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9，所有余数的和是多少？ [能力拓展平台]

1．（《小学生数学报》竞赛题）五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少