高中数学必修五不等关系与不等式

广东省一级学校-陆丰市林启恩纪念中学亲情奉献,高中数学资料

第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）

一、教学目标

1．使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）

产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.

2. 学习如何利用不等式表示不等关系，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生的学习方式，提高学习质量。

二、教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理

解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学过程

（一）[创设问题情境]

问题1：设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则d≤AB。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1

元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总

3.1 不等关系与不等式

一、教学目标：

知识与技能：

1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式

（组）的实际背景，2.掌握不等式的基本性质；

过程与方法：

1.通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

2.会用不等式的性质证明简单的不等式；

情感、态度与价值观：

通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

二．重点难点

重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

利用不等式的性质证明简单的不等式。

三、教材与学情分析

由具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发

2014年高中数学 3.1不等关系与不等式备课素材 新人教A 版必修5

一、备用习题

1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.

分析：设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则???????≥≥≤+≤+.

0,

0,661518,104y x y x y x

2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.

分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则??

?????∈=-=-.

,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜. 3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、

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不等式关系与不等式练习题

一、选择题

1、若a,b是任意实数,且a＞b,则 ( ) （A）a＞b （B）

2

2

b1a1b

＜1 （C）lg(a-b)＞0 （D）()＜()a222、下列不等式中成立的是 ( )

1+a≥2 (a?0) at?111t(t＞0,a＞0,a?1)

（C）＜(a＞b) （D）a2≥a

ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 则(2?1)(2?1)的最小值为 ( )

ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1) （B）

(A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

3553223

4、已给下列不等式(1)x+ 3 >2x(x∈R); (2) a+b> ab+ab(a ,b∈R);

22

3.1不等关系与不等式

3.1.1不等关系与不等式（一）

教学过程

推进新课

师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.

(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)

实例6:限时40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%.

［过程引导］

师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?

生可以用不等式或不等式组来表示.

师什么是不等式呢?

生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式

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爱你一万年 - 1 -

3.1 不等关系与不等式

学习目标：1.了解不等式的性质(重点).2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．不等符号与不等关系的表示： (1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠； (2)不等关系用不等式来表示．

2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换

[提示] ①不等式a ≥b 应读作：“a 大于或等于b ”，其含义是a >b 或a ＝b ，等价于“a 不小于b ”，即若a >b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．

②不等式a ≤b 应读作：“a 小于或等于b ”，其含义是a <b 或a ＝b ，等价于“a 不大于b ”，即若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 正确．

3．比较两实数a ，b 大小的依据

思考：x 2

＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2

＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？

[提示] 作差：x 2

＋1－2x ＝(x －1)2

≥0，所以x 2

＋1≥2x . 4．不等式的性质

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爱你一万年

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(1)a >b 且c >d 则a －c >b －d .

不等关系与不等式学案

学习目标

⒈了解不等式的概念，掌握比较实数大小的方法； ⒉培养学生数形结合能力和运算能力；

⒊通过实际情境的设置，培养学生对客观世界的认知能力。

合作探究 1. 人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船的飞行速度（记作vkm/s）应该不小于第一宇宙速

度（记作v1km/s），且小于第二宇宙速度（记作v2km/s）。v,v1,v2的关系用数学符号可怎样表示？

2. 某人为自己制定的月支出计划中，规定手机电话费不超过150元，他所选用的中国电信卡

的收费标准为：月租费30元，每分钟通话费0.40元。求这个人每月通话时间（记为x小时）的取值范围，请列出式子。

通过上面的两个问题，我们能得到什么启示？我们用哪些符号表示数与代数式之间的关系呢？可举几个例子？

一、不等式的定义：

二、实数大小比较的方法的依据是什么？

实数集与数轴上的点集可以建立一一对应关系，数轴上的点是有次序排列的数轴上一个动点，沿着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大。

数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边对应的实数之间的关系怎样？ 结论一：

在数轴上，表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系如何？实数a和b是否也有类似

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《不等关系与不等式练习》教学设计

【知识与能力目标】 通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；

【过程与方法目标】

通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；

【情感态度价值观目标】

理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.

【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.

【教学难点】

使用不等式（组）正确表示出不等关系.

（一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系

我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.

在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

提问：

1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).

2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点：

1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.

2.不等式a b 的含义

.

◆教学目标

◆教学重难点

◆教学过程

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不等

看江山如此多娇啊第三章 3.1 第1课时

一、选择题

1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A．M>N C．M

13

[解析] M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，

24∴M>N.

2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a

A．>

abC．|a|>|b| [答案] B

[解析] ∵a

3．已知a<0，－1ab>ab2 C．ab2>ab>a [答案] D

[解析] ∵－1b2>0>b>－1， 即bab2>a.故选D．

4．如果a、b、c满足c[解析] ∵c

∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．

B．bc>ac D．ac(a－c)<0 B．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a B．2a>2b 11

D．()a>()b

22B．M＝N D．与x有关

看江山如此多娇啊∵b可能等于0，也可能不等于0. ∴cb2

5．设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lge，则( ) A．a>b>c C．c>a>b [答案] B

111

[解析] ∵0222＝c，∴b6．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( ) A．lg(x2＋1)≥lg2x 1

C．2≤1

x＋1[答案] C

1

[解析] A中x

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §5不等式的应用

[对应学生用书P24]

利用不等式解决实际问题中的大小问题 [例1] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，甲、乙二人谁先到达指定地点？

[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力． [精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：

t1

t1ssm＋n＝s，＋＝t2. 222m2n2ssm＋n，t2＝， m＋n2mn2ssm＋n－ m＋n2mn2

∴t1＝

∴t1－t2＝

s[4mn－m＋n＝

2mnm＋n]sm－n＝－. 2mnm＋n2

其中s，m，n都是正数，且m≠n， ∴t1－t2<0，即t1

从而知甲比乙先到达指定地点．

对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解．

1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用