最大线性无关组个数等于秩

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

西南交大线性代数习题参考答案

2 第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，

其中每一项为行列式中位于不同行

不同列的 n 个元素的乘积，若将

每一项的各元素所在行标按自然顺

序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的

符号为 号；若为偶排列，该

项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a

a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a

a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1)

11222332330000a a a a a

3 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为

，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,2

1,11,12,100000

0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L

线性代数

第3.3节3. 节3向量的秩组一向、组量极的大无关 二、向量组组秩 的三、向量组的秩矩与秩的关阵系

线性代数

一向量组的、极大无组关.基1概本 1念.本概念基 有设向组量的A分部 组定义设有向量组 的部分组1αα2,,,Lrα满足 (Li )α,α21,Lαr,线 无关性 ； 线性L关； (i无)iA任中向量一 α可由 α以1α,2,L,αr 性线示表 ，中任一量向L 线性表 示，则称α 1α2,,Lα,为向r量 组的个一极大线无性组，关简称极大的一 极大线性无关个 组L为 向量A的组一极个大性无关组，简线极称 大无组关 .无关 组是任何否量向都组极大有无关呢组？果如，有是 否何任量组向都极大有关无组？呢果有，是如否唯 先看个例子一. 一？先看一个例.子

线性代数

1例考察下 列向组量的大无极关组(1) α1 (=0,,0)0

存不在(2 )1α= ( 00,,),0α2= ( 10,0,),α3 =0,1(,0 )3) α( 1 (1=0,0,,α2 ) =(0,1,)0α3,= (0,,10)(4) 1 α =(,0,10),α 2=(0 ,,1)0,3 = α1,(1,)0不难纳

归α 2,α 3 1,α2αα3,α,1α;

陕西科技大学基础课部数学教研室

第十一讲 向量组的秩与向量空间

陕西科技大学基础课部数学教研室

§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

陕西科技大学基础课部数学教研室

第三节

向量组的秩

陕西科技大学基础课部数学教研室

一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

陕西科技大学基础课部数学教研室

向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

陕西科技大学基础课部数学教研室

第十一讲 向量组的秩与向量空间

陕西科技大学基础课部数学教研室

§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

陕西科技大学基础课部数学教研室

第三节

向量组的秩

陕西科技大学基础课部数学教研室

一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

陕西科技大学基础课部数学教研室

向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

第四章 线性方程组

1． 设A 为n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量的个数是（ ）。

)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个

2．如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ，则（ ）。

)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解

)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况

3．设33)(?=ij a A 满足条件：(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i )，其中ij A 是元素ij

a 的代数余子式；(2) 133-=a ；(3) ||1A =，则方程组

b AX =，

T b )1,0,0(=的解是（ ）。

)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-

4．设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为（ ）。

)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个

第三章 线性方程组

第一节 线性方程组与矩阵的行等价

一 线性方程组

以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.

定义3.1 多元一次方程组???????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.

如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.

定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.

按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此

2015年四川省青少年游泳锦标赛

1. 男子甲A组 50米自由泳 决赛 68人 9组 录取前 8 名 09:00.00

============================================================================================================== 组次\\泳道 1 2 3 4 5 6

Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n

+ a1 x

( n 1)

λ + a1λ特征根 重数

n 1

+ L + an 1 x′ + an x = 0

+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解 λt

λ (实) λ (实)

1kλt αt

e

e ,te , , t Lαt αt αt

λt

k 1 λt

e

α ± iβ

1k

e cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α t

α ± iβ

常系数非齐次线性ODE的待定系数法

x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )

q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an