怎么判断无穷积分是否收敛

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大

学号： 本 科 生 毕 业 论 文

论 文作 院 专 班 指 导题 目： 者： 系：业：级：教 师：

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

2015 年 5 月 17 日

I

NO.： Huanggang Normal University

Thesis Graduates

Topic ：

Author ：

College ： Specialty ：

Class ：

Tutor

：

May 17th, 2015

郑重声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明

黄冈师范学院本科生毕业论文

本 论 文科 题 目：

毕 业 论 文

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

生

NO.：201121140403 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty Class Tutor

Thesis Graduates

Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations

CHEN Gan

College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics 201104 HE Chunling

： ：：：：

：

May 17th

一.无穷积分与级数

a

f ( x )dx, a

b

f ( x )dx,

f ( x )dx.

b f ( x )dx, f ( x )dx 的敛散性都可归结为

形如

f ( x )dx

的无穷积分. a

dx x

1 n 1 n

1 1

收敛 发散

收敛 发散

定理1 无穷积分 a

f ( x )dx 收敛

对任意数列 An , n N , 有 An [a , ),lim 而 A1 a, n An ,k 1

级数

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛于同一数，且

a

f ( x )dx k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx.

证明

必要性 已知无穷积分收敛，即

a

f ( x )dx lim n Ak 1 Ak

An 1 n a

f ( x )dx Ak 1 Ak

lim n k 1

f ( x )dx k 1

f ( x )dx.

充分性 已知对任意数列 An , 而 A1 a ,n

lim An

时， 级数 k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛

于同一个数， 即它的部分和数列 n A

数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质二、非负函数无穷积分的

收敛判别法

三、一般函数无穷积分的

收敛判别法

*点击以上标题可直接前往对应内容本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

无穷积分的性质??非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分?af(x)dx收敛的充要条件是:???0,?G?a,当u1,u2?G时,?au1f(x)dx??uu2af(x)dx??uu21f(x)dx??.??a证设F(u)??f(x)dx,u?[a,??),则?au???f(x)dx收敛的充要条件是存在极限limF(u).由函数极限的柯西准则,此等价于

???0,?G?a,?u1,u2?G,F(u1)?F(u2)??,数学分析第十一章反常积分高等教育出版社后退前进目录退出

§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

即

?a??au1f(x)dx??u2af(x)dx??uu21f(x)dx??.根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.

性质1若?f1

一.无穷积分与级数

a

f ( x )dx, a

b

f ( x )dx,

f ( x )dx.

b f ( x )dx, f ( x )dx 的敛散性都可归结为

形如

f ( x )dx

的无穷积分. a

dx x

1 n 1 n

1 1

收敛 发散

收敛 发散

定理1 无穷积分 a

f ( x )dx 收敛

对任意数列 An , n N , 有 An [a , ),lim 而 A1 a, n An ,k 1

级数

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛于同一数，且

a

f ( x )dx k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx.

证明

必要性 已知无穷积分收敛，即

a

f ( x )dx lim n Ak 1 Ak

An 1 n a

f ( x )dx Ak 1 Ak

lim n k 1

f ( x )dx k 1

f ( x )dx.

充分性 已知对任意数列 An , 而 A1 a ,n

lim An

时， 级数 k 1

Ak 1 Ak

f ( x )dx

收敛

于同一个数， 即它的部分和数列 n A

如何判断母猪是否怀孕？

根据判定妊娠日期的迟早可分为早期、中期、后期。

早期诊断：

观察母猪外形的变化，如毛色有光泽、眼睛有神、发亮，阴户下联合的裂缝向上收缩形成一条线，则表示受孕。

碘化法：取母猪尿10毫升左右放入试管内，用比重计测定其比重（应在1.0―1.025），过浓加水稀释，然后滴入碘酒在煤气灯或酒精灯上加热。尿液将达到沸点时发生颜色变化：尿液由上到下出现红色，即表示受孕；出现淡黄色或褐绿色即表示未孕。

经产母猪配种后3-4天，用手轻捏母猪最后第二对乳头，发现有一根较硬的乳管，即表示已受孕。

指压法：用拇指与食指用力压捏母猪第9胸椎到第12胸椎背中线处，如背中部指压处母猪表现凹陷反应，即表示未受孕；如指压时表现不凹陷反应，甚至稍凸起或不动，则为妊娠。

中期诊断：

母猪配种后18-24天不再发情，食欲剧增，槽内不剩料，腹部逐渐增大，表示已受孕。

用妊娠测定仪测定配种后25-30天的母猪，准确率高达98%-100%。

母猪配种后30天乳头发黑，乳头的附着部位呈黑紫色晕轮表示已受孕。从后侧观察母猪乳头的排列状态时乳头向外开放，乳腺隆起，可作为妊娠的辅助鉴定。

后期诊断：

妊娠70天后能触摸到胎动，8

1

1 引言

无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.

广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.

1. 含参量的广义积分

和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积

洁兵

蟑螂总是不能彻底消灭，很多时候我们使用蟑螂药都是只杀死了外面看得到的蟑螂，而看不到躲藏在窝里的蟑螂是杀不死，而这些窝内的蟑螂又继续繁殖，所以才一直不能把蟑螂彻底消灭。那么怎么样知道家里有没有蟑螂窝呢？如何才能找到蟑螂窝，把这些窝里的蟑螂消灭呢？

蟑螂喜欢阴暗潮湿多缝隙的位置，有食物和水的位置也是蟑螂比较集中的位置。蟑螂的活动场所一般不固定，它们不会只在一个地方活动，而蟑螂窝也很隐蔽，一般情况下，我们是很难找到蟑螂窝的。如果能找到蟑螂窝，直接往蟑螂窝里倒入热开水，就可以把蟑螂烫死，但是实际情况是我们根本没有办法找到蟑螂窝，找不到蟑螂窝怎么办呢？

洁兵

蟑螂窝找不到没有关系，其实我们可以直接在家里放上洁兵杀蟑胶饵，为什么放洁兵杀蟑胶饵就可以呢？洁兵药里含有引诱蟑螂的引诱剂，我们只需要把家里全部都放上药，只要在家里的一些隐蔽的角落和缝隙处都放好药，这样不管蟑螂在哪里都会被引诱出来吃药，吃药后慢慢死亡。另外蟑螂吃了洁兵药后，有一些蟑螂会回到窝内慢慢死亡，窝内的活蟑螂再吃死蟑螂也慢慢死亡，这样就可以把窝内吃不到药的蟑螂也杀死，蟑螂之间通过相互传染达到连环灭蟑螂的效果，最终可以把蟑螂全部消灭。

洁兵

如何使用洁兵杀蟑胶饵才能把蟑螂彻底消灭呢？正确的使用方法对灭

篇一：教你对付间谍软件

教你对付间谍软件

除非我们变得更加聪明，否则，恶意软件不会自动消失。要求反病毒厂商做的更多是个很好的开始。

你看，我的Dell电脑运行速度又变慢了。有什么东西躲在我的电脑里，让我的键盘响应速度变慢。还有那些讨厌的弹出式广告呢？

最新的间谍软件非常智能、狡猾，而且异常令人讨厌又顽强。它同Windows启动过程中几个部分的工作都有关系，中途截取编辑注册表等文件的请求。它每次安装都会给自己重新命名。它能够监视自身的组件，并在它们被删除后自动进行恢复。

除非你用未被感染的操作系统进行启动，否则你根本不可能清除它，即便用未被感染的操作系统引导启动，还需要很高的技巧才能够逐步把它缠绕在你电脑心脏中枢上的藤蔓完全去除。

通常是用一张干净的操作系统启动盘来启动电脑：你需要有一张已经准备好的、未感染病毒的、并且写保护的磁盘。把它插入驱动器，重新启动计算机，一切就都是 新的了！现在，XP对于磁盘来说过于庞大豪华--如果你还有磁盘驱动器这个老古董的话--它不能够直接从CD上进行安装，所以你必须重新安装系统并且期望 这样做能够把讨厌的病毒从你的电脑中清除出去了。你可以备份你的数据，格式化硬盘并重新安装你的各种软件，这是一个痛苦而漫长的过程，而且随时都可能