正交矩阵怎么求

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

1

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1

clear clc

s=[0 0 0 0 0 0 35 50 2 40 50 160 75 150 4 80 150 200 115 250 14 180 475 300 150 350 24 280 800 400 250 420 36 565 1600 800 ];

x=input('请输入浓度值：') ];

for i=1:6 for j=1

if x(i)

elseif s(j,i)<=x(i)&&x(i)<=s(j+1,i)

r(j,i)=(s(j+1,i)-x(i))/(s(j+1,i)-s(j,i)) else

r(j,i)=0 end end

for j=2:4

if s(j-1,i)<=x(i)&&x(i)<=s(j,i)

r(j,i)=(x(i)-s(j-1,i))/(s(j,i)-s(j-1,i)) elseif s(j,i)<=x(i)&&x(i)<=s(j+1,i) r(j,i)=(s(j+1,i)-x(i))/(s(j+1,i)-s(j,i)) else

r(j,i)=0 end end for j=5

if x(i)>s(j,i) r(j,

下面是实现Gauss-Jordan法实矩阵求逆。

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

int brinv(double a[], int n)

{ int *is,*js,i,j,k,l,u,v;

double d,p;

is=malloc(n*sizeof(int));

js=malloc(n*sizeof(int));

for (k=0; k<=n-1; k++)

{ d=0.0;

for (i=k; i<=n-1; i++)

for (j=k; j<=n-1; j++)

{ l=i*n+j; p=fabs(a[l]);

if (p>d) { d=p; is[k]=i; js[k]=j;}

}

if (d+1.0==1.0)

{ free(is); free(js); printf("err**not inv\n");

return(0);

}

if (is[k]!=k)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ u=k*n+j; v=is[k]*n+j;

p=a[u]; a[u]=a[v]; a[v]=p;

}

if

下面是实现Gauss-Jordan法实矩阵求逆。

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

int brinv(double a[], int n)

{ int *is,*js,i,j,k,l,u,v;

double d,p;

is=malloc(n*sizeof(int));

js=malloc(n*sizeof(int));

for (k=0; k<=n-1; k++)

{ d=0.0;

for (i=k; i<=n-1; i++)

for (j=k; j<=n-1; j++)

{ l=i*n+j; p=fabs(a[l]);

if (p>d) { d=p; is[k]=i; js[k]=j;}

}

if (d+1.0==1.0)

{ free(is); free(js); printf("err**not inv\n");

return(0);

}

if (is[k]!=k)

for (j=0; j<=n-1; j++)

{ u=k*n+j; v=is[k]*n+j;

p=a[u]; a[u]=a[v]; a[v]=p;

}

if

矩阵求逆的几种方法

关于矩阵求逆的几种方法

庄战友

（通辽实验中学，内蒙古通辽

摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍了矩阵求逆的几种方法。

关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式

028000）

-1

阶矩阵A为可逆矩阵时，A=

*1*

A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。|A|

a1%%%a2a1%%%a2

例2：设A=，若|A|==a1a4-a2a3≠0，则存在A

a3%%%a4a3%%%a4

1.定义法

定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

%2%%%2%%3

例1：求矩阵A=%1%-1%%0的逆矩阵。

-1%%2%%1

-1

，且

%%1%a%%%-aA=%%|A|-a%%%%a

-1

4

21

。

3

%%

-1

解：因为|A|≠0，所以A存在。

用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。

3.初等变换法

设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为In，则子块In将变为A，即初等行变换

同样也可以作2n×n矩阵变换，即

-1

x11%%x12%%x1333-1x21%%x22%%x233设A=3，由定义知AA=I，33x31%%x32%%x3333

本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用

学院：

专业：数学与应用数学

学号：

学生姓名：

指导教师：

二〇一一年六月

摘要

如果n阶实矩阵A满足T

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

A A E

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率

I

Abstract

Orthogonal matrices and its applications

If a n-dimensional real matrix A satisfies E

AA T ,we call it orthogonal matrix. Or

C语言矩阵求逆程序（高斯-约旦法）

高斯-约旦法

根据代数里面的知识，可以使用伴随矩阵也可以使用初等行变换来解求解，但是这样如果矩阵的维数较大的时候，使用这种方法，矩阵的维数变大时，计算量急剧的变大，计算时间和使用内存也会按着指数急剧上升，这样的算法的生命力不行。

使用以下这种算法的计算量和使用内存不会发生急剧的变化，特别是矩阵在维数大的时候。

高斯-约旦法（全选主元）求逆的步骤如下： 首先，对于 k 从 0 到 n - 1 作如下几步：

从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素所在的行号和列号，在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上。这一步称为全选主元。 m(k, k) = 1 / m(k, k)

m(k, j) = m(k, j) * m(k, k)，j = 0, 1, ..., n-1；j != k m(i, j) = m(i, j) - m(i, k) * m(k, j)，i, j = 0, 1, ..., n-1；i, j != k m(i, k) = -m(i, k) * m(k, k)，i = 0, 1, ..., n-1；i != k

最后，根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息

C++求矩阵的逆程序代码

C inverse.c

C Source Code for "GRPP, A Scientific Programming Language

C Processor Designed for Lex and Yacc."

C Author: James Kent Blackburn

C Goddard Space Flight Center, Code 664.0, Greenbelt, MD. 20771

C Computers in Physics, Journal Section, Jan/Feb 1994

/*

Matrix Inversion using

LU Decomposition from

Numerical Recipes in C

Chapter 2

*/

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#define TINY 1.0e-20

void inverse(double**,int);

void ludcmp(double**, int, int*, double*);

void lubksb(