可分离变量的微分方程的通解

第二节 可分离变量的微分方程

教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 教学重点：可分离变量的微分方程的解法 教学难点：可分离变量的微分方程的解法 教学内容：

本节开始,我们讨论一阶微分方程

y??f(x,y) (1)

的一些解法.

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:

P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0 (2)

在方程(2)中,变量x与y对称,它既可以看作是以为x自变量、y为未知函数的方程

dyP(x,y)?? (Q(x,y)?0), dxQ(x,y)也可看作是以x为自变量、y为未知函数的方程

dxQ(x,y)?? (P(x,y)?0), dyP(x,y)

在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程

dy?2x， dx或 dy?2xdx. 把上式两端积分就得到这个方程的通解：

y?x2?C。

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程

dy?2xy2 （3） dx就不能像上面那样

第二节 可分离变量微分方程可分离变量方程

第七章

dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0转化

解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x目录 上页 下页 返回 结束

分离变量方程的解法:

g ( y ) d y f ( x) d xg ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x两边积分, 得

①

设 y= (x) 是方程①的解, 则有恒等式

f ( x) d x

设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有 ②

当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 说明由②确定的隐函数 y= (x) 是①的解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x= (y) 也是①的解.

称②为方程①的隐式通解, 或通积分.目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求微分方程

的通解.

dy 2 3 x d x 说明: 在求解过程中 解: 分离变量得 y 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 两边积分 减解. 或 3 ln y x C1 得即

令C

数学

6.2 典型的一阶微分方程. 6.2.1 可分离变量的微分方程一、可分离变量方程dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0转化

解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x

数学

可分离变量的微分方程.

g( y )dy f ( x )dx4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx

解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,

g( y )dy f ( x )dx

分离变量法

设函数G ( y ) 和F ( x ) 是依次为 g ( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.

数学

二、典型例题例1.求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分

dy 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y或

得即

ln y x C13

每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.

令C e

C1

ln y x ln C3

( C 为任意常数 )

( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

数学

数学

6.2 典型的一阶微分方程. 6.2.1 可分离变量的微分方程一、可分离变量方程dy f1 ( x) f 2 ( y ) dx M1 ( x)M 2 ( y) d x N1 ( x) N 2 ( y) d y 0转化

解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x

数学

可分离变量的微分方程.

g( y )dy f ( x )dx4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx

解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,

g( y )dy f ( x )dx

分离变量法

设函数G ( y ) 和F ( x ) 是依次为 g ( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.

数学

二、典型例题例1.求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分

dy 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y或

得即

ln y x C13

每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.

令C e

C1

ln y x ln C3

( C 为任意常数 )

( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )

数学

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第九章

第四节 线性微分方程通解的结构一、二阶线性微分方程 二、二阶线性微分方程解的性质 三、二阶线性微分方程解的结构

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一、二阶线性微分方程y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )

—— 二阶线性微分方程当 f ( x ) 0时，二阶齐次线性微分方程当 f ( x ) 0时，二阶非齐次线性微分方程

n 阶线性微分方程：y( n)

p1 ( x ) y

( n 1)

pn 1 ( x ) y pn ( x ) y f ( x ).2

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二、二阶线性微分方程解的性质y p( x ) y q( x ) y 0 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) (1) ( 2)

性质 1 (齐次线性方程解的叠加原理) 若函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个解, 则 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解. ( C1 , C 2 是任意常数)3

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证

y p( x ) y q( x ) y

(C1

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

1

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

关于数值分析的

常微分方程的数值解法

一、题目 2x y y 求解初值问题 y

y 0 1 0 x 1 ，10等分区间，求节点处的近似值，并对所求结

果与分析解的结果进行比较。

二、方法

欧拉法

三、程序

function E=euler(f,a,b,y0,N)

x=zeros(1,N+1);

y=zeros(1,N+1);

x(1)=a;

y(1)=y0;

h=(b-a)/N;

for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));

end

T=[x',y']

四、结果

>> format compact

>> euler(inline('y-2*x/y'),0,1,1,10)

T =

0 1.0000

0.1000 1.1000

0.2000 1.1918

0.3000 1.2774

0.4000 1.3582

0.5000 1.4351

0.6000 1.5090

0.7000 1.5803

0.8000 1.6498

0.9000 1.7178

1.0000 1.7848

>> y=[1.0000 1.1000 1.1918 1.2774

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第六章 常微分方程的数值解法

§6.0 引言

§6.1 算法构造的主要途径 §6.2 Runge-Kutta Method算法 §6.3 线性多步法

§6.4 线性多步法的一般形式 §6.5 算法的稳定性、收敛性

§6.0 引 言

1． 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:

?dy?dx?f?x,y????y?x0??y0??

微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程:

xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得一阶常微分方程的初始问题

???y??2y??x4?y(1)??3。

显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题 的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能

够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x0 , x1 ,...,xn，其中a= x0< x1<…< xn =b。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本无

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1