高数第五章思维导图

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，

《高等应用数学实训教程》

- 1 - 第五章 空间解析几何

一、学习要点：

1.理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的坐标表示，单位向量，方向余弦；

2.熟练掌握空间向量的线性运算，数量积、向量积的坐标运算法；

3.熟练掌握空间向量平行、垂直的充要条件及判定；

4.掌握平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程；

5.知道空间一点到平面的距离公式；

6.掌握直线的对称式、参数式、一般式方程及其求方程的方法

7.会判定直线和平面的位置关系(垂直、平行、直线在平面上)；

8.了解母线平行于坐标轴的柱面，旋转抛物面，圆锥面，椭球面方程及图形.

二、相关知识总结：

1.空间直角坐标系的建立及其空间点的直角坐标.

2.空间直角坐标系中任意两点11112222(,,),(,,)p x y z p x y z 间的距离公式： 21221221221)()()(z z y y x x p p d -+-+-==.

3.空间向量的有关概念及向量的坐标表示.

4.空间向量的线性运算及利用坐标进行向量的线性运算.

5.空间向量模的坐标表示：

设向量{,,}x y z a a a a =，其模2x a a =+

向量a 的单位向量：0{cos ,cos ,cos }a i a j a k a αβγ

蒙太奇

第五章 影视艺术的 表现手法蒙太奇思维

蒙太奇

本节主要内容安排 5—1 1 5—2 2 5—3 3 5—4 4 蒙太奇的含义 蒙太奇的含义 蒙太奇依据和蒙太奇思维 蒙太奇依据和蒙太奇思维 依据和蒙太奇 蒙太奇的重要作用 蒙太奇的重要作用 蒙太奇的分类 蒙太奇的分类

蒙太奇

镜头：指摄像机从开始拍摄到停止拍摄之间所拍 镜头： 下的连续画面。换句话说，镜头就是摄像机连续 下的连续画面。换句话说，镜头就是摄像机连续 拍下的不同画幅的画面 的不同画幅的画面。 拍下的不同画幅的画面。 镜头组：由不同镜头组接而成，遵循影视语言的 镜头组：由不同镜头组接而成， 语法”规则，能够表达一个完整的意思。 “语法”规则，能够表达一个完整的意思。

蒙太奇

一个学生坐在座位上，凝视着前方；(中景) 教师在讲台的黑板前板书；(全景) 学生在记笔记。(近景)

蒙太奇

5—1 1

蒙太奇的含义

一 、蒙太奇的含义狭义上的蒙太奇：指镜头组接的章法和技巧。 狭义上的蒙太奇 广义上的蒙太奇：整个影片的思维方法、结 广义上的蒙太奇 构方法和全部艺术手段的总称。作为电影反映现实生活的独特的形象思维方法 形象思维方法； 作为电影反映现实生活的独特的形象思维方法； 作为电影的基

蒙太奇

第五章 影视艺术的 表现手法蒙太奇思维

蒙太奇

本节主要内容安排 5—1 1 5—2 2 5—3 3 5—4 4 蒙太奇的含义 蒙太奇的含义 蒙太奇依据和蒙太奇思维 蒙太奇依据和蒙太奇思维 依据和蒙太奇 蒙太奇的重要作用 蒙太奇的重要作用 蒙太奇的分类 蒙太奇的分类

蒙太奇

镜头：指摄像机从开始拍摄到停止拍摄之间所拍 镜头： 下的连续画面。换句话说，镜头就是摄像机连续 下的连续画面。换句话说，镜头就是摄像机连续 拍下的不同画幅的画面 的不同画幅的画面。 拍下的不同画幅的画面。 镜头组：由不同镜头组接而成，遵循影视语言的 镜头组：由不同镜头组接而成， 语法”规则，能够表达一个完整的意思。 “语法”规则，能够表达一个完整的意思。

蒙太奇

一个学生坐在座位上，凝视着前方；(中景) 教师在讲台的黑板前板书；(全景) 学生在记笔记。(近景)

蒙太奇

5—1 1

蒙太奇的含义

一 、蒙太奇的含义狭义上的蒙太奇：指镜头组接的章法和技巧。 狭义上的蒙太奇 广义上的蒙太奇：整个影片的思维方法、结 广义上的蒙太奇 构方法和全部艺术手段的总称。作为电影反映现实生活的独特的形象思维方法 形象思维方法； 作为电影反映现实生活的独特的形象思维方法； 作为电影的基

第五章 图与网络模型及方法

§1 概论

图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷CnH2n?2的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当

然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧

1．构成原子的微粒及作用 1．构成原子的微粒及作用 原

子

?????

原子核?

???

? 质子(Z 个)——决定 的种类中子[(A －Z )个]在质子数确定后决定 种类同位素核外电子(Z 个)——最外层电子数决定元素的 性质

2．将下列核素符号(X)周围5个位置数字的含义填写在方框内

3．微粒之间的关系

(1)质子数(Z )＝核电荷数＝____________； (2)质量数(A )＝________(Z )＋________(N )； (3)阳离子的核外电子数＝质子数－____________； (4)阴离子的核外电子数＝质子数＋______________。 考点二 元素、核素、同位素 1．元素、核素、同位素的关系

2．同位素的性质

同一元素的各种核素的________不同，________相同， 化学性质______________，物理性质____________。 考点三 核外电子排布 1．原子核外电子排布规律

(1)核外电子一般总是尽先排布在__________的电子层里。 (2)每个电子层最多容纳的电子数为________个。

①最外层最多容纳电子数不超过____个(K 层为最外层时不超过____个)。

②次外层最多容纳的电子数不超过

5.1圆(1)

一、学习目标：

1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.

2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系

3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.

二、知识准备：

1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。 思考：车轮为什么做成圆形？

2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？ 三、学习内容： 1、圆的定义：_______________ （运动的观点） 2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是 和

3、点和圆的位置关系

量一量（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.

（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？若⊙O的半径为r， 点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆 d r ?

点P在圆 d r ?

点P在圆 d

班级 姓名 学号

第 五 章 定 积 分

1．证明定积分性质：证：k?kf(x)dx?k?ani?1bbaf(x)dx （k是常数）.

nb?baf(x)?klim?f(?)?xi?lim?kf(?)?xi??kf(x)

??0??0i?1a2．估计下列积分值：（1）

??5?4(1?sin2x)dx

?2,x2??,

4解：令f(x)?1?sin2x，则f‘(x)?2sinxcosx?sin2x?0 得驻点：x1? 由f()?2,?2f(?)?1,5?4?3f()?,42?3f()?， 得 minf(x)?1,maxf(x)?2， 42由性质，得

????f(x)dx?2?

4（2）

?333xarctanxdx

解：令f(x)?xarctanx，f‘(x)?arctanx?x3，所以在f(x)?0[，3]上单调增加， 21?x3?minf(x)??63,maxf(x)?33?333， ?，?（3?）??3xarctanxdx??（3?）3333633 即

?32??3xarc

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

2012-2-1

复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

2012-2-1

复变函数

第一节一、奇点的分类

复变函数

复变函数与积分变换

复变函数

参考用书《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 2003.6 高等教育出版社, 高等教育出版社, 高等教育出版

《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 1996.5

高等教育出版社, 高等教育出版社,

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复变函数

目 录第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章2012-2-1

复数与复变函数 解析函数 复变函数的积分 解析函数的级数表示 留数及其应用 傅立叶变换 拉普拉斯变换3

复变函数

第五章

留数及其应用

本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类

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复变函数

第五章5.2 留数

留数及其应用

5.1 孤立奇点 5.3 留数在定积分计算中的应用 本章小结 思考题

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复变函数

第一节一、奇点的分类