综合法与分析法经典例题

§2.2.1综合法与分析法

曹县一中 杨玉啟

一、学习目标

（一）知识与技能目标

1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法 2. 了解综合法和分析法的思维过程和特点

（二）过程与方法目标

1. 通过对实例的分析、归纳与总结的过程，发展学生的理性思维能力。

2. 通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并发展他们的分析问题、解决问题的能力。

（三）情感、态度与价值观目标

通过本节课的学习，正确认识综合法和分析法在证明过程中的重要作用，养成勤于观察、认真思考的数学品质和言之有理、论证有据的思维习惯，正确认识与理解综合法和分析法的关系，及辩证分析问题的观点。

二、学习重点、难点

重点：分析法与综合法的思维过程及特点 难点：分析法与综合法的应用

三、学习过程

（一）知识链接

问题1. 由 1+3=4=2 1+3+5=9=3 1+3+5+7=16=4 1+3+5+7+9=25=5 …………….

猜想： 1+3+5+7+…+(2n-1)=n

上面运用的是哪一种推理？结论正确吗？如何验证你的判断

2 . 2

直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法

综合法和分析法

综合法

分析法

定义

利用 已知条件 和某 从要证明的 结论出发 ， 些数 逐步寻求使它成立 充分条件 ，直至最 学 公理 、 定义 、 的 后，把要证明的结论归结 定理 等，经过一 系列的 推理论证 ， 为判定一个明显成立的条 件(已知条件、 最后推导出所要证明 定义、公理 等),这种证 的结论成立，这种证 定理、 明方法叫做综合法 明方法叫做分析法

综合法

分析法

框图 表示(P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等， Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法

[例 1] +b+c).

1 2 已知 a, b, c>0.求证： a +b +c ≥ (a +b2+c2)(a 33 3 3

[分析] 不等式中的a,b,c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论.

[证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理：b3+c3≥

篇一：层次分析法步骤

层次分析法实例与步骤

结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。

【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。

1. 建立递阶层次结构

应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。

AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：

? 目标层（最高层）：指问题的预定目标；

? 准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；

? 措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；

通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。

然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次元素间一般存在隶属关系，即上一

证明不等式的基本方法

一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 ①作差法：a b a b 0,a b a b 0;

a a 当b 0时,a b 1,a b 1; ②作商法： b b

1、作差法作差变形

判断 (与？比较大小)

下结论

2、作商法作商 变形 判定 (与？比较大小) 下结论

例1、求证： x 3 3x2

例2、 已 知 a , b, m 都 是 正 数 ， 并 且 a b, 求 证 ： a m a b m b

例3、 已 知 a , b是 正 数 ， 且 a b, 求 证 ： a b a b ab3 3 2 2

二、综合法与分析法综合法

从已知条件出发,利用定义、定理、公理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命 题成立,这种证明方法叫做综合 法.由叫顺 推证法或由因导果法 则综合法用框图表示为:P Q1Q1 Q 2Q2 Q3

…

Qn Q

问题： 已知a、b、c > 0,且不全相等，求证 a(b + c )+ b(c + a )+ c(a + b ) > 6abc2 2 2 2 2 2

问题： 已知a1 ,a 2 , a

《运用加、减、乘、除法的知识解决问题》说课稿

一、说教学内容：运用加、减、乘、除法的知识解决问题解决含有三个及以上信息的问题，教学班级是四年级。 二、说学情分析：

之前学生已经具备了利用加、减、乘、除法的知识解决只含有两个信息的问题能力，掌握了利用综合法解决问题的步骤，这为本节课解决含有三个及以上信息的实际问题奠定了基础，解决三个及以上信息的问题关键是要能准确选择判断哪两个信息之间有联系，因此，教学中要重视学生的独立思考和选择信息能力的培养，这对于提高学生的解题有很大的促进作用。

三、说教学目标：

1. 通过具体问题情景，让学生经历用综合法解决问题的模式：收集数学信息—解读信息—判断信息之间联系的过程。

2.能用四个意义分析题中的数量关系，确定解题思路，先算什么，再算什么。提高分析问题、解决问题的能力。

3. 初步建立运用综合法解决问题的模型，培养学生有条理地思考问题的能力。 四、说教学流程 （一）情景引入

在五一节这一天，东东爸爸妈妈带着他到儿童乐园完，一路上遇到了许多数学问题，同学们愿意帮助他吗吗？

（二）课件呈现以下四道铺垫练习： 1、

园内有47位小朋友，又来了26位。

1

2、请同学门看，在儿童乐园的一角，有一位阿姨在卖气

2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 1.2 综合法与分析法

综合法教案 北师大版选修2-2

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、 教学过程

（一）、复习：

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.

（二）引入新课

引例：四边形ABCD 是平行四边形，

求证：AB=CD ，BC=DA

证 连结AC ，因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB//CD ，BC//DA

又AC=CA

故 AB=CD ，BC=DA 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：

本题结论

1234∠=∠∠=∠故，ABC CDA ???所以

在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。

从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法

【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.1综合法与分析法练习

新人教A 版选修2-2

一、选择题

1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定 [答案] B

[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A

＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2

，所以△ABC 是直角三角形． 2．(2015·长春外国语学校高二期中)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )

A ．P >Q

B ．P ＝Q

C ．P

D ．由a 的取值确定 [答案] C

[解析] 取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，

∴P

证明如下：要证P

只要证2a ＋7＋2a a ＋7 <2a ＋7＋2 a ＋3 a ＋4 ，

只要证a 2＋7a

只要证0<12，

∵0<12成立，∴P

3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )

A ．a 2＋b 2＋c 2≥2

B ．(

杜邦分析法综合例题：

以下为X公司的会计报表和财务指标：

资产负债表

单位：X公司 单位:人民币元 2012 2,335,333,994.33 216,658,630.21 161,284,874.55 326,616,938.43 145,380,151.05 1,523,244.03 1,301,637,236.42 4,488,435,069.02 2,996,154.00 36,336,909.43 238,825,809.62 44,898,522.73 283,724,332.35 58,871,941.37 12,843,661.62 5,996,995.80 37,964,513.97 10,000,000.00 448,734,508.54 4,937,169,577.56 21,400,000.00 174,794,473.20 699,126,645.66 169,062,796.66 42,769,525.85 100,490,835.44 284,070.00 2,627,624.98 517,971,308.84 1,728,527,280.63 6,684,882.14 4,944,832.43 374,4

1.行政许可法 单选题

1行政机关实施行政许可，擅自收费或者不按照法定项目和标准收费的，由其上级行政机关或者监察机关（）。A. 责令退还非法收取的费用

2除可以当场作出行政许可决定的外，行政机关应当自受理行政许可申请之日起多少日内作出行政许可决定C. 20日

3关于行政许可监督检查费用的说法，正确的有（A）。

A. 行政机关实施行政许可以不收费为原则，所需经费应当由本级财政予以保障

4关于《行政许可法》第十二条第四项所列的直接关系公共安全、人身健康、生命财产安全的重要设备、设施、产品、物品，需要按照技术标准、技术规范，通过检验、检测、检疫等方式进行审定的事项的行政许可，下列说法错误的是：（D）。

D.行政机关根据检验、检测、检疫结果，作出不予行政许可决定的，可以口头说明不予行政许可所依据的技术标准、技术规范

5行政许可的实施机关（）对已设定的行政许可的实施情况及存在的必要性适时进行评价，并将意见报告给该行政许可的设定机关。 D. 可以

6专业技术组织依法对直接关系生命财产安全的设备实施的检验、检测，其检验、检测结论由（）承担法律责任。B. 专业技术组织及其有关人员

7下列应当设立行政许可事项，说法错误的是（C）。 C. 市场竞争机制能

2．2.1 综合法与分析法

教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．

教学目标 1．知识与技能目标

(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法． (2)了解分析法和综合法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标

(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

重点难点

重点：分析法和综合法的思维过程及特点． 难点：分析法和综合法的应用．

教学过程

创设情境、引入新课

提出问题1：前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什