高等数学数学竞赛题

北航数学竞赛答案（2008）

一. 求 dx sinx x )12n (sin I 0

n ?π-= 解 dx sinx x )12n (sin I 0

1n ?

π++= dx sinx sinx cos2nx cosx sin2nx 0?

π+= =dx cosx sinx sin2nx 0?π-dx sinx sinx cos2nx 0

?π dx sinx x )12n (sin 0

?π

-= =n I

所以，n I =π=1I

二. 设)x (f 在[0，1] 上连续，且 ?=1

01f(x)dx ， 证明?π≥

+10

24f(x)dx )x (1. 证明 210f(x)dx 1??? ??=?21022dx x 11x 1f(x)???

? ??+?+=? ()?????? ??+?+≤10221

022dx x 11dx x 1)x (f 4

dx )x 1)(x (f 1

022π?

+=? 所以

?π≥+1

024f(x)dx )x (1

三. 已知 )x (f n 满足x 1n n 'n e x )x (f )x (f -+= (n 为正整数) 且n e )1(f n =, 求级数 ∑∞=1n n )x (f

之和.

解：x 1n

2014年10月竞赛辅导练习题（一）

一、极限与连续部分

21．求极限limxln(xsin)． （ ?x???1x1 ） 61 ） 62．求极限lim(x?x?x???332x2?x)． （ ?mnn?m??)m、n?N（且）． （ ） m?nnx?1xm?12x?111?n1e2)?(1?)n]． （ ） 4．求极限limn[(1?n??1?nn23．求极限lim(ex?e2x???enxx5．求极限lim()． （ ex?0n31n?12 ）

1?6．已知极限limx?0f(x)?1sinx2ln(x?1?x)2?b(b?0)，求常数a、n，使得当x?0时，

f(x)~axn． （ a?3b、n?3 ）

x?ax37．选择适当的a，为尽可能高阶的无穷小，b使得当x?0时，f(x)?arctanx?1?bx2并求阶数的最大值． (

第一章 函数 极限 连续

问题1. 上岸点的问题

有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1）

y B P Rx?y?R内游泳，当他位于点（?,0）时，听到紧急集 M 2222?O M?A x 合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为v1，陆地上跑步的速度为v2，求赶回营房 所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。

图1-1

解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的位置数字化，根据本题特点可设

M?(Rcos?,Rsin?)

其中?为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系t?f(?)的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数t?f(?)的定义域为0????。

该士兵在水中游泳所花的时间为

t1?PM1RR?(Rcos??)2?R2sin2??5?4cos? v1v122v1而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：

① 当0????3时，有t2?M?AR?5?4cos?； v2v2② 当

?3????时，要先跑一段圆弧MB，再跑一段且线段BA，所以

t2?1R?(MB?BA)?(

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）

一.填空（每题4分，共32分） 1.limx?0x?sin?sinx??sinx?3? 2.设函数f,?可导，y?f?arctanx???tanx??，则y?? 3. y?cos2x，则y?n??

1?xdx? x2ex??1dx? 5. ?21?x44.?2x?2y?z?2?0?6.圆?2的面积为 22?x?y?z?4x?2y?2z?19?x?7.设f?2x?y,?,f可微，f1??3,2??2,f2??3,2??3，则dzy???x,y???2,1??

1???1??n?1?!8.级数?的和为 n2n!n?1?n二．（10分）设f?x?在?0,c?上二阶可导，证明：存在???0,c?， 使得?c0cc3f?x?dx??f?0??f?c???f?????

212E为D1C1的中点，F为侧三．（10分）已知正方体A

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

重庆工业职业技术学院《高等数学》试题库

第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)

一、单选题

(f(x)dx)?1.设f(x)是可导函数,则?为（ A ）.

? A.f(x) B.f(x)?C C.f?(x) D.f(x)?C

2.函数f(x)的（ A ）原函数,称为f(x)的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 f(x)dx?e3.?xcos2x?C,则f(x)?（ B ）.

xxxxA.e(cos2x?2sin2x) B.e(cos2x?2sin2x)?C C.ecos2x D. esin2x

4.函数f(x)?ex的不定积分是（ B ）.

A.ex B.ex?c C.lnx D.lnx?c 5.函数f(x)?cosx的原函数是 （ A ）.

A.sinx?c B.cosx C.?sinx D.?cosx?c 6.函数f(x)?1?12的原函数是（

计算技巧

数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻辑思维、精确计算和准备判断。 ———— 王梓坤

1. 计算1+11+21+31+41+9+19+29+39+49

2. 计算29+299+2999+29999+299999

3. 计算4952—267—652

4. 计算6374—2997—998

5. 计算64×25×87×125×5

6. 计算199÷16—24÷16—15÷16

7. 计算15×213÷27+15×327÷27

8. 计算1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）

9. 计算4567—3456+1056—167

10. 计算（1）85×27+85×73 2）99×99+99 （

11. 计算（1）125×31 （2）998+1413+9989

12. 计算9÷

常州大学2012-2013年度数学竞赛获奖名单

本部

机类（高等数学A） 一等奖(共34人）

谢敬涛(信管101）刘浩浩(机械教改121） 陈圆圆(机制101) 夏阳春(热能122) 宗文浩(储运113) 周 伟(储运103) 唐归源(石工122) 徐丽娜(信管101) 邓 吕(装备102) 周军勇(储运103) 陈春龙(建环101) 王明敏(土木121) 戚中一(计算机121) 魏婷婷(电科121) 华松杰(华院121) 郑国峰(装备102) 黄佳佳(电科121) 李 洋(给水121) 朱绪跃(华院122) 陈龙海(装备122) 朱晓云(信科教改122) 卞 雷(机械教改121) 苏 聪(电科121) 万 根(华院121) 樊姜威(土木122) 陈雪慧(电科121) 荆 斌(电科122) 郁秋华(华院122）孙 涛(机制103) 陈继雨(土木121) 殷啸林(土木122) 夏威威(机制122) 刘 锐(装备101) 郑张笑(电科111) 二等奖（共50人）

蒋 斌（储运121）郭雪萍（石工101） 江晓

. . .. . .

.. .专业 . . 2010年省《高等数学》竞赛试题（本科二级）

一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x

→-=

2.2ln(1x y x

=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=?

5.4211dx x

+∞

=-? 6.圆222222042219

x y z x y z x y z +-+=???++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………