曲线积分求弧长

同济 高等数学 精品课

课程名称 《高等数学》

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第11章 曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral

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第一节

第一类曲线积分

问题的提出对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算

几何意义与物理意义小结 思考题 作业3

第十章 曲线积分与曲面积分

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对弧长的曲线积分

一、问题的提出实例 曲线形构件的质量 匀质之质量 M s 分割 M1 , M 2 , , M n 1OA

By

L( i , i ) M iM1 M 2

M n 1

M i 1

si

取近似 取 ( i , i ) si , M i ( i , i ) si

x

求和

M ( i , i ) sii 1 n

n

近似值精确值4

取极限 M lim ( i , i ) si 0i 1

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对弧长的曲线积分

二、对弧长的曲线积分的概念设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, ① 函数 f ( x , y ) 在L上有界. 在L上任意插入一点列M1 , M 2 , , M n 1

1.定

如何对曲线在指定区间进行积分

在数据分析过程中，有时需要求曲线特定区间的积分。例如，求下图横坐标12-18之间的积分值。

1.选中曲线，进入Analysis下的Mathmatics，点击Integrate。

1

2.依次点开Input、Range前的+号，即可看到积分对应的数据（红色矩形框内）。

在此，是对X轴的指定段12-18求积分；因此点击Rows后面的下拉框，选择By X。 All指全段积分；

By Row指按照Workbook中指定行的范围积分；

By X指按照图中X轴的范围积分；

2

3.在Input-Range-Rows下的From和To中填写区间范围12-18。点击OK按钮即可获取积分值。

3

4.积分结果会在Results Log中显示，约为2076；

对应的积分范围见下图。

4

注意：曲线在X值为12和18处的点不在同一基线上，如需要以12和18处两点的连线作基线计算积分，请按后面的方法操作。

5.同样选中曲线，进入Analysis下的Mathmatics，点击Integrate下的Open Dialog （以前使用过积分功能的话，则会出现Open Dialog）。

5

6.同上选择By X，填写区间12-18。然后勾选“Use End Points Str

弧长和扇形面积说课稿

尊敬的各位评委,老师：大家好！

我是xx号考生，今天我说课的题目是《弧长和扇形面积》，内容是选自人教版初中数学九年级上册第24章第4节。下面我将从教材、教法学法、教学过程，板书设计等几个方面来加以说明。

一、教材的地位和作用

本节是初中数学的重要内容之一，这是学生已经学习了圆的周长及面积，对弧长和面积已经有了初步的认识的基础上，对圆知识的进一步深入和拓展，在今后的解题及几何证明中，将起到重要作用。 二、教学目标、重点难点分析

在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：

知识目标：了解扇形的概念，理解n0的圆心角所对的弧长、扇形面积以及圆锥面积的计算公式并熟练掌握。

技能目标：通过本节课的学习，培养学生 观察分析、类比归纳的探究能力，加深对数形结合、从特殊到一般等数学思想的认识。

情感目标：通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。

通过上面对教材内容的分析以及教学目标的设定，我确定本节课的教学重难点如下：

1

重点：由圆

补充内容 一．二重积分

定义：设D为xy平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数。用任意的曲线把D分成n个小区域?1,?2,??n. 以??i表示小区域的面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径，称T?maxdi为分割T的细度。在每个?i上任取一点

1?i?nn(?i,?i)，作和式?f(?i,?i)??i，称它为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和。

i?1如果

n lim?f?(i?,i?)?i

T?0i?1存在，则称f(x,y)在D上可积，此极限值就称为f(x,y)在D上的积分，记为

??Df(x,y)d?，即

n

??Df(x,y)?d?T?0li?mi?1f?i(?i?,?)i。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??Dkf(x,yd)??k??fx(y,d?)

D 2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

??[fD(x,y

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为y?f?x?，x??a,b?，其上每一点的密度为??x,y?．

如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为

M1,M2,...,Mn, 每一小弧段的长度分别是?s1,?s2,...,?sn．取其中的一小段弧Mi?1Mi来分

图13-1

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点

??i

《弧长和扇形面积》第一课时说课稿

龙门县实验学校 梁艳芬

尊敬的评委、领导、老师：

大家好！我要说的课题是《弧长和扇形面积》第一课时。根据新课标理念，我将从教材分析、教法设计、学法指导、教学过程和效果预测五个方面加以说明。

先看教材分析： 一、教材分析 1.教材地位和作用

本节内容选自义务教育课程标准实验教科书、人教版九年级数学上册第24章第4节第110-111的内容，它是圆周长与面积的拓展和延伸，也是学习圆锥侧面展开图的基础，且对动态问题的学习将起到重要的铺垫作用。 2.学情分析

由于我班的数学基本功相对较薄弱，接受新知识的能力较困难，特别是逻辑思维论证有欠严谨，遗忘旧知识明显。因此我把本课内容重组为先复习圆周长与面积，接着认识扇形，再推导公式，最后是巩固公式。暂时避开求阴影部分的面积，让学生重新树立学好数学的信心。 3.重难点

我结合新课标要求，以学生发展为核心的理念下确定了本课的重点是弧长和扇形面积公式的推导。由于公式刚接触，学生对公式的选择还不够灵活，导致计算量超大，所以本课的难点确定为弧长和扇形面积公式的灵活选用。 4.教学目标

根据新课程标准，教学目标应包括三维。因此，本课的三维

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

篇一：《弧长及扇形的面积》第一课时的教学反思

《弧长及扇形的面积》第一课时的教学反思

作为教师怎么处理教材为好？怎么引入新课？怎么展开课堂教学？等等一系列问题，人人都在不断的思考中追求完美，努力求得效果最好。

我教弧长及扇形的面积的第一课时，主要是导出弧长及扇形的面积公式，并进行初步运用，让学生经历弧长及扇形面积公式推导过程，提高数学思考、分析和探究活动能力，体会公式中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想。

本节课本我从传送带的一个转动轮轮转一周入手，先思考转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？再由转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米，归纳得出转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米，即360°的圆心角对应圆周长2πR，那

2πRπR=，n°的圆心角对应的弧长应360180

πRnπR=为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．学生带着疑180180

nπR问，进行分组讨论归纳弧长公式l＝，老师并引导学生共同证明l180

nπR＝：体现了数学由特殊到一般的教学过程，渗透了转化的思想。180么1°的圆心角对应的弧长为

接着分析公式中的变量与常量，揭示了弧长与半径、及所对圆心角的关系，为推导扇形面积公式做好铺垫，体现了类比的教学思想。

这节课基本

YSYZ

MIDDLE SCHOOL

知识回顾

圆的周长公式

C=2πR圆的面积公式2 S=πR

问题1:

如图是圆弧形状的铁轨示意图，其 中铁轨的半径为100米，圆心角为 90°.你能求出这段铁轨的长度吗?解:∵圆心角900 1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 则铁轨长是

1 2 100 50 米 4

图 23.3.1

问题探究：

上面求的是圆心角900所对的弧长，请同 学们计算半径为r圆心角分别为180°、 90°、45°、1°所对的弧长。思考：

请同学们计算半径为r,若圆心角为n°, 如何计算它所对的弧长呢？

图 23.3.2

若设⊙O半径为R, n°的圆心角 所对的弧长为 l ,则

n R l 180

A

B

n°

140°圆心角所对的弧 长是多少？ 140 R 7 R 180 9

O

例1

制造弯形管道时，经常要先按中 心线计算“展直长度”(图中虚线 的长度),再下料，试计算如图所 示管道的展直长度L(单位：mm,精 确到1mm)A B100° R=900mm 700mm 700mm

C

如何求

AB

长？

D

例1700mm

A100° R=900mm

B700mm