5.3.3界限角的三角函数值

5.3.3 界限角的三角函数值

【复习巩固】

1.三角函数定义域：

2.三角函数值在各个象限的符号：

y y

＋ ＋ － ＋ － ＋ －

－

－

＋

＋

－

3.终边相同的角的三角函数值相等

由定义可知，点p是终边上任意一点，至于α有多大并不知道。所以，终边相 同的角的同名三角函数值相等。即 sin（α+ 2kπ）= sinα

cos（α+2kπ）= cosα （k∈Z） （公式一）

tan（α+ 2kπ）= tanα 练习：

1．判断下列角的各三角函数符号： （1） 235º；（2）480 º；（3）

16π3

；（4）

3π4

．

2．根据条件sin 0且tan 0,确定 是第几象限的角. 答案：1．（1）sin( 235 ) 0, cos( 235 ) 0，tan( 235 ) 0； （2）sin480 0, cos480 0，tan480 0； （3）sin

16π16π16π3 0,cos

3

0,tan3

0

；

（4）sin(

3π) 0

, cos( 3π4

4

) 0, tan(

3π4

) 0．

2． 是第二象限的角．

公式的作用：把

求任意角的三角函数值转化为

灵宝三高赛讲教案

已知三角函数值求角（一）

灵宝三高 刘军

教学目标：1、会由已知三角函数值求角；

2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；

3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。

重点：已知三角函数值求角

难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角； 2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；

3、用arcsinx、arccosx表示所求角。 新课引入： sin

?4=_______,sin

5?=_______,sin7?=________. 3?=_______,sin444结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角

?4有关。

已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？

新课讲授：（一）典型例题 例1、(1)已知sinx=

2，且x∈[-?，?],求x;

2222，且x∈[0，2?],求x的取值集合。 2???2，可知符合条件的角有且，]上是增函数和sin=4222 (2)已知sinx=

解：（1）由正弦函数在区间[-

?，于是x=?。

442﹥0，所以x是第一或第二象限角。由正弦函数的单调性和sin(π﹣

（2）因为sinx

灵宝三高赛讲教案

已知三角函数值求角（一）

灵宝三高 刘军

教学目标：1、会由已知三角函数值求角；

2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；

3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。

重点：已知三角函数值求角

难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角； 2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；

3、用arcsinx、arccosx表示所求角。 新课引入： sin

?4=_______,sin

5?=_______,sin7?=________. 3?=_______,sin444结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角

?4有关。

已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？

新课讲授：（一）典型例题 例1、(1)已知sinx=

2，且x∈[-?，?],求x;

2222，且x∈[0，2?],求x的取值集合。 2???2，可知符合条件的角有且，]上是增函数和sin=4222 (2)已知sinx=

解：（1）由正弦函数在区间[-

?，于是x=?。

442﹥0，所以x是第一或第二象限角。由正弦函数的单调性和sin(π﹣

（2）因为sinx

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

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任意角的三角函数（第一课时）

一. 教学目标设计 1、认知目标:

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

（2）会作单位圆中的三角函数线；初步领会三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号；

（3）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值； （4）加深对函数一般概念的理解。 2、能力目标:

在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义及几何表示，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。 3、情感目标:

（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； （3）以科学史激励学生，培养学生追求真理的精神。 二. 教学内容及重点、难点及关键的分析 教学重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义

教学难点 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数的概念。

教学关键 抓住初中所学的三角函数的定义方法，与新问题形成知识冲突，激发学生学习的兴趣；直观地

上海市上南中学单元教学设计

上南中学单元教学设计

主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

1．2.1 任意角的三角函数

整体设计

教学分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．

利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．

三维目标

1．通过借助单位圆理

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主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图