用newton迭代法求解非线性方程组

浙江丝绸工学院学报,,

,

第

卷

,

第

期

,

年

月

关于解非线性方程组的迭代法的若干研究卢兴江浙江大学,

型

杭州

摘本文给出了求解非线性方程组的

要型迭代法的几何实质同时提出了新的研究方向并,。

设计了对一般非线性方程组运用的灵活而有效的算法关键词非线性方程组型迭代法

几何实质

。

中图分类号

引

言

对非线性方程组其中,

任

,

,

一

,

,

…人,,

」求解的方法甚多有迭代法同伦延拓算法,,

、

、

单纯形算法和区间迭代法等

。

在文献

中系统地介绍了。

阶非线性方程组,

的基本理

论完整地分析了该类方程组数值解的几种主要迭代法在众多的迭代法中以著名的法奋‘丢

一〔

‘

丢

〕

一‘

去

,

,

,

…,

最为引人注目它的最大优点是平方收敛且是强有力的有自校正性阵及其逆矩阵的代价很高,,,

。

但缺点是求。

矩阵

对初始点的要求较高。

,

不具有大范围收敛性、

另外

,

当

奇异或病态时计算不能顺利进行针对以上问题许多工作者对定型方程比较好的方法。

法作了种种改进修正

,

得到了一些对一般或某特

这类方法的迭代格式是去‘奋

一

去

汤

,

,

…

我们称这类方法为法、

型迭代法

。

常见的有修正,

法

、

下降法

、

带参数的为此针对

一

和

一

法等

。‘〕

对于解非线性方程组迭代法的研究虽有较长的历史本文收到日期一一

但问题远没有完全解决

,

浙江丝绸工学院学报

年、

第

卷

这一老问题种处理方法

,

西安财经学院 本 科 实 验 报 告

学 院（ 部 ） 统计学院 实 验 室 数学专业实训基地 课 程 名 称 大学数学实验 学 生 姓 名 董童丹（编程）杨媚（实验报告） 学 号 0804280125 0804280126 专 业 数学与应用数学0801

教务处制

二0一一年五月十五日

第 1 页

《迭代法求解非线性方程》实验报告

开课实验室：实验室 312 2011年5月15日 学院 统计学院 年级、专业、班 数学与应用数学0801姓名 董童丹 班 课程 名称 大学数学实验 教师 评语 教师签名： 年 月 日 一、实验目的 掌握用fzero和fsolve程序求解方程根的方法，并根据不同的初值，根的近似值和迭代次数 分析不同根的收敛域； 二、实验环境 本次上机实践所使用的平台和相关软件Matlab。 三、实验内容 ＊题目

《MATLAB程序设计实践》课程考核

1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍《精通MATLAB科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，2009年） “不动点迭代法非线性方程求解” 2、编程解决以下科学计算问题。

7.某工厂2005年度各季度产值（单位：万元）分别为：450.6、395.9、410.2、450.9，试绘制折线图和饼图，并说明图形的实际意义。

x2y2?1绘制平面曲线，并分析参数a对其形状的影响。 8.根据2?a25?a2

2.按要求对指定函数进行插值和拟合。

（1）按表6.4用3次样条方法插值计算0~900范围内整数点的正弦值和

0~750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值，

并将两种计算结果进行比较。

表6.4 特殊角的正弦与正切值表 0 15 30 45 60 75 90 a（度）sina 0 0.2588 0.5000 0.7071 0.8660 0.9659 1.0000 tana 0 0.2679 0.5774 1.0000 1.7320 3.7320 （2）按表6.5用3次多项式方法插值计算1~100之间整数的平方根。

表6.5 1~100内特殊值的

系部 学号 实验题目

数计系

专 业 姓 名

计算机科学与技术

日期 成绩

2010 年 12 月

实验三： 实验三：解线性方程组的迭代法

一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组， 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组，设置精度为 1.0e-6:

10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组， 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))

4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公

实验一 线性方程组迭代法实验

一、

实验目的

1．掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；

2．能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计；

3.理解迭代法的基本原理及特点，并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；

4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响；

5.用SOR迭代法求解线性方程组时，超松弛因子?的取值大小会对方程组的解造成影响，目的就是能够探索超松弛因子?怎样对解造成影响，通过这个实验我们可以了解?的大致取值范围。

二、

实验题目

1、迭代法的收敛速度

用迭代法分别对n=20，n=200解方程组Ax=b,其中

?4??????A?????????1315131513??134???...15134?15?15??15134?13?15???????11?3?5??4?13?1?34??n?n

（1）选取不同的初值x0和不同的右端向量b，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；

（2）取定初值x0

第6章

解线性方程组的迭代方法

6.1 迭代法的基本概念 6.2 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法

6.3 超松弛迭代法 6.4* 共轭迭代法

上页

下页

6.1 迭代法的基本概念6.1.1 引 言 对线性方程组 Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 第5章 讨论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩 阵方程组(A的阶数n很大 104,但零元素较多), 利 用迭代法求解是合适的. 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比 迭代法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而 超松弛迭代法应用很广泛。 下面举简例，以便了解迭代法的思想.上页 下页

例1 求解方程组

8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中

(1.2)

x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 此方程组的精确解是x*=(3,2,1)T

hao

第3章 解线性方程组的迭代法

清华大学工程硕士数学课程--数值分析 数值方法

§1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

（I）迭代概念

（1） Ax b ， A Rn n， b R

A M N ， M R

n n

n

， N R

n n

，

M非奇异

Mx Nx

b

Mx Nx b

x M

1

Nx M

1

1

b

如果令 B M

1

N,f Mb，那么上式写成

（2） x Bxf 此方程组等价于Ax b

任给x

(0)

R，

(1)

n

x x

Bx

(0)

f f

(2)

Bx

(1)

（3） x

(k 1)

Bx

(k)

k(

f

(k)

)

由（3）可以确定 x

x

(k)

，当x

x R，即

*n

x

*

0 时，有

*

*

x Bx f

x同样满足 Ax b

*

*

定义 式（3） x

(k 1)

Bx

k(

f称为求解 （1）

)

Ax b 的简单形式迭代法，B称为迭代矩阵。

（II）Jacobi迭代法

hao

Ax b

写成分量形式有

n

a

j 1

ij

xj bi,

i 1,2, ,n

i 1n

ij

aiixi

a

j 1

xj

j i 1

aijxj bi,i 1,2, ,n

假定 aii 0 ，那么有 xi

1aii

i 1

n

ij

(bi

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

3.4 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维

向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。

向量和矩阵的范数

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1,

x2之间距离用| x1-x2 |表示。

向量和矩阵的范数

而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 x 2 y 2 | OP 表示。而平面上 | 任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。

| P1 P2 | ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 )2

2

向量范数定义3.4.1 设任一向量x R n , 按某一确定的

x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0,当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx || | k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意 x, y R , 都有 || x y || || x || || y || ,法则对应于一非负实数 ||n

则称 || x || 为向量x的范数。

常见的向量范数设向

解线性方程组的迭代方法 1 引言 2 基本迭代法

3 迭代法的收敛性

上页

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1 引对线性方程组

言

Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 用前面讨 论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩阵方 程组(A的阶数n很大，但零元素较多), 利用迭代法求解 是合适的. 迭代法的基本思想就是用逐次逼近的方法去求线 性方程组的解。 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比迭代 法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而超松弛迭 代法应用很广泛。 下面举简例，以便了解迭代法的思想. 上页 下页

例1 求解方程组

8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中

(1.2)

x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 方程组的精确解是x*=(3,2,1)T. 现将改写为上页 下页

1 3 x 2 2 x 3