机械振动的特征值是什么

振动 特征值

机械振动中的特征值问题

机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。显然这是一种特殊形式的机械运动。人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。

早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。最早研究的连续系统是弦线。1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅

特别说明

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大学物理课件

机械振动基础第1 节一、定义

简谐振动运动学

x = Acos(ωt + ),

A O x A x A > 0 , ω > 0 , :常数

——简谐振动方程 简谐振动方程 正弦交流电： 正弦交流电： u = Um cos(ωt + ) 二、描述简谐振动的物理量

圆频率，单位： ω = 2πv, ω :圆频率，单位： rad / s

x = Acos(ωt +) ≤ A , A > 0 :振幅 2π T= > 0 :周期 ω 1 ω 单位： 频率 v, 单位： Hz ,v = = T 2π2π t +) x = Acos(ωt + ) = Acos(2πvt +) = Acos( T

大学物理课件

2π t +) x = Acos(ωt + ) = Acos(2πvt +) = Acos( T Φ(t) = ωt + :位相， t = 0 ,Φ(0) = , :初相 位相，

A、 (或 或 )、 :描述简谐振动的物理量，三要素 ω v T 描述简谐振动的物理量，

三、振动曲线(位移时间曲线，不是运动轨迹) 振动曲线(位移时间曲线，不是运动轨迹)

xAO

xA

kT t

T

t

O

切线斜率 k = dx / dt = V :速度 画法

苏教版选修4-2完美教案学案,知识点全面,题型丰富,贴近考纲

2.5 特征值与特征向量

1．特征值与特征向量的定义

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

2．特征多项式的定义

a

设A＝

c

λ－a －b 2

是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λd －c λ－d

b

＋ad－bc称为A的特征多项式．

3．特征值与特征向量的计算 设λ是二阶矩阵A＝

a

c

d

b

的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：

λ－a －b 2

第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝ ＝λ－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ

－c λ－d

的值．

第二步：将λ的值代入二元一次方程组

x0 x0 λ－a x－by＝0， 得到一组非零解 ，于是非零向量 即为矩阵A的属于特征

y0 y0 －cx＋ λ－d y＝0，

值λ的一个特征向量．

4．Anα(n∈N*)的简单表示 (1)设二阶矩阵A＝ λnα(n∈N*)．

(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2

a

c

，α是矩阵A的属于

第 五 章 相 似 矩 阵

第五章 相似矩阵§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 * §5.3 Jordan标准形介绍

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 §5.1 方阵的特征值与特征向量 五 章 一、问题的引入 相 似 矩 阵二、基本概念 三、特征值与特征向量的求解方法 四、特征值的性质

五、特征向量的性质

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用， 章如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域

相 似 矩 阵

中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭

代法求解等问题都会用到该理论。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 第 一、问题的引入 五 引例 种群增长模型 (工业增长模型) 章 设 x 代表某种群 C 的数量， (某国的工业增长水平) 相 似 矩 阵y 代表某种群 D 的数量， (该国的环境污染程度)

初态为 ( x0 , y0 )T , x1 x0 2 y0 , y1 2 x0 y0 ,

一年后的状态为： x0 x1 1 2 x0

机械振动分析与应用习题

第一部分 问答题

1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。

3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。

4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？

5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。

6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。

第二部分 计算题

1．求图2-1所示两系统的等效刚度。

图2-1 图2-2 图2-3

2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。 3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。

图2-4 图2-5 图2-6

机械振动分析与应用习题

第一部分 问答题

1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。

2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。

3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。

4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？

5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。

6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。

第二部分 计算题

1．求图2-1所示两系统的等效刚度。

图2-1 图2-2 图2-3

2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。 3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。

图2-4 图2-5 图2-6

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方阵的秩与特征值的关系

作者：秦川李小飞

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2015年第27期

【摘要】对于n阶方阵而言，秩和特征值都是其重要特征，本文将建立它们之间的联系。通过矩阵的秩，得到矩阵的特征值的相关信息;反过来，通过矩阵的特征值的情况，得到矩阵的秩的取值范围。

【关键词】n阶方阵 ;特征值 ;秩 ;实对称矩阵

【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.

【Key wo

>> x=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1] x =

1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000

>> [V D]=eig(x) V =

-0.4658 0.4419 + 0.2711i 0.4419 - 0.2711i -0.3672 + 0.2415i -0.3672 - 0.2415i

-0.8409 0.7773 0.7773 0.8575

1．一质量为m的物体置于水平台面上，台面沿竖直方向作简谐运动，其频率为?，振幅为A，求

(1)若振动中物体与平台不分离，振动中物体对平台压力的最大值和最小值各为多少?

(2)为使物体不与平台分离，振幅A的最大值为多少? 2．如图所示，在倾角为?的光滑斜面上放置一质量为m的物体，物体与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在斜面的上端，弹簧的劲度系数为k。今将重物从其平衡位置沿斜面向下拉下一小距离然后由静止释放，重物将在斜面上作简谐运动，试求其振动周期。

3．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧连着一个质量为M的物体在光滑水平面上振动，其振幅为A。若一块质量为优的粘土由静止状态粘到振子上，随后系统继续进行振动，试求在下列两种情况下系统继续振动的周期和振幅： (1)当振子通过平衡位置时与粘土相粘；

(2)当振子在最大位移处时与粘土相粘。

_4．质量分别为M和m的两物块用劲度系数为忌的轻弹簧相连而置于光滑水平面上，弹簧的自然长度为l。今将两物体拉开使弹簧长度变为(l?l0)，然后同时将两物体由静止释放。试求释放后两物块振动的周期和振幅。

5．如图所示，一列火车以惯性向前行驶，冲上一个与水平面成?角的山坡，火车的速度逐渐减小。当火