三角形内角平分线和外角平分线相交

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则＜D=90^o+1/2＜A证明如图1,＜1=＜1’,＜2=＜2’,2＜1+2＜2+＜A=180^。.＜l+＜2+＜D=180^。.

2 8

中。擞 ( 1年 0初中 ) 7 7 2 1第1期 版 0

解题研究

三角形内外角平分线有关命题韵证明及应用4 1 2湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林 4 13在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，本文将此类问题进行归纳总结，以利于进行求解.命题 1如图 1点 D是， AA C两个内角平分线的交 B点，a￥l￣o=9。 0十l E A.

=9 0。一1 Z.

A.

点评

利用角平分线的定义和三角形的一个外角

等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于10,以证明. 8。可命题 3如图 3, E是点

AA C一个内角平分线与一 B个外角平分线的交点，则 EC D

证明‘.’

如图 1,1= 1 2= 2,,

1 A=.

A.

图3

.

.

2 1+2 2+/

=1 0, 8。

(

1 2+LD=10.+ 8。 ①一得②

②

证明‘ .

如图 3,1= L

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平

线段的垂直平分线与角平分线

1.如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ） A．6cm B．8cm

2．如图3，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB。其中正确的有

3.已知1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=

2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长 是

3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是

B

4. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。

5．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________． 6．∠AOB的平分

篇一：角平分线教学反思

“角的平分线性质”的教学反思

一 教学目标

1 知识与技能

能应用角的平分线的性质定理解决一些实际问题

2 过程与方法

经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想。 3 情感态度与价值观

使学生在比较中获取知识，感悟几何的简练思维

二 教材分析

1 重点：应用角的平分线的性质定理。

2 难点：应用综合法进行表达。

3 关键：抓住问题的因果关系进行推理。

三 教学片段

1 回顾旧知识

师：请同学们在草稿纸上任意画一个∠AOB，并且画出∠AOB的角平分线。

（让学生回忆角平分线的尺规作图，为今天所学作铺垫）

2 活动一

让学生在白纸上任意画一个∠AOB，并且用剪刀剪下∠AOB，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠的三条折痕。

（教师边叙述边操作，学生操作并把平面图画在草稿纸上，教师巡逻，指出其中有差错的地方）

师：第一次折叠有什么作用？

生1：把角平均分成两份。

生2：折痕实际就是这个角的平分线。

师：很好。第二次折叠形成的两条折痕与角的边有什么位置关系？

生：垂直。

师：我们可以换一种说法吗？

（学生思考片刻）

生1：垂线段

生2：距离

生3：点到直线的距离。

师：点在哪里？

生4：第一条折痕

三角形的高、中线、角平分线练习题

1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。

2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ）

A ．直线

B ．射线

C ．线段

D ．射线或线段

3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C

．钝角三角形 D ．不能确定

4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是

（ ）

A ．中线

B ．高

C ．角平分线

D ．以上三种情况都正确

5、如图若∠BAF=∠CAF ，则____是△ABD 的角平分线，

____是△ABC 的角平分线

6、如图AB ⊥AC ，则AB 是△ABC 的边____上的高，也是

△BDC 的边______上的高，也是△ABD 的边____上的高.

7、如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线，AC=10cm ，

∠BAC=700，则AD=_____，∠BAE=____.

F A B C

D A B C D A B C D

8、在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分

线，AF 是

高，填空：

⑴BE ＝___＝21_____；

⑵∠BAD=_____=21

_____；⑶∠AFB=_____=90

教案

7.1.2三角形的高、中线与角平分线

大坦学校 许志越

一、教学目标：

1、 三角形的高、中线与角平分线的定义。

2、 三角形的高、中线与角平分线的画法及数量关系。 3、 通过学习，增强空间抽象能力和比较归纳思想。 二、教学重点：

三角形的高.中线与角平分线的定义及画法。 三、教学难点：

三角形的高.中线与角平分线的定义的理解及不同三角形高的画法 四、教学分析：

本课课本内容较少，为一个课时，为了加深学生的学习兴趣与理解，在教学中我一方面将教学内容与小学内容进行衔接，增强过渡效果。第二方面为加深学生对定义理解，教学中可采用投影，既可以对指定内容进行强调，又可减少教师上课作图时间，增加教学容量。第三教学中我采用了折纸方法，进一步加强学生对定义的理解。 五、教学过程： 1、教学引入：

1)复习三角形的定义。

(由三条线段首尾相接组成的图形) 2）三角形的面积公式是什么？ S△=

1ah 2

3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗？引出课题 2、新课讲解：

三角形的高

1）找一个同学上黑板作一个三角形的高。注意规范，师生指正。

找一个同学用几何语言来描述一下三角形的高的定义，归纳出定义。

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，所得的垂线段

一、选择题

1. (2009 山东省临沂市) 如图，OP平分 AOB，PA OA， OB，

垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．PA PB B．PO平分 APB C．OA OB D．AB垂直平分OP

O

B

2. (2010 吉林省长春市) 如图，△ABC中， C 90°， B 40°，AD是角平分线，则 ADC的度数为（）

（A）25°（B）50°（C）65°（D）70°

3. (2010 广西柳州市) 如图，若CD 3Rt△ABC中， C 90°， ABC的平分线BD交AC于D，cm，则点D到AB的距离DE是（）

A．5cm Ｂ．4cm Ｃ．3cm Ｄ．2cm A D B C

4. (2010 湖南省益阳市) 如图3，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A两边的距离相等，且PA＝PB．下

列确定P点的方法正确的是

Ａ．P为∠A、∠B两角平分线的交点

Ｂ．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 Ｃ．P为AC、AB两边上的高的交点 Ｄ．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

5. (2010 湖北省襄樊市) 如图１，已知直线AB∥CD，BE平分

《角的平分线的性质》说课稿

今天我说课的内容是人教版八年级数学上册第十一章第三节《角的平分线的性质》第一课时。下面我将从教材分析、学法、教法、教学程序、教学设想等五个方面进行说明，教学程序将是我阐叙的重点。首先我们来看教材分析：

一、教材分析：

1、教材的地位及作用：

本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及其逆定理。同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，并为今后在圆一章学习内心作好知识准备。因此它既是对前面所学知识的应用，又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用 ，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。

2、教学目标：

在新课程改革背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为主，同时从知识教学、技能训练等方面，根据《新课程》对本节课内容的要求及本节课的学习结果类型，针对学生的一般性认知规律及学生个性品质发展的需要，确定教学目标如下：

（1）知识与技能：掌握作已知角的平分线的方法和角平分线性质。

（2）过程与方法：在经历角平分线的性质定理的推导过程中，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

（3）情感态

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郑家寨中学“自主、合作、当堂达标”预习导学案 （序号 1 ）

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