2016高中数学全国联赛试题及答案

1 2008年全国高中数学联赛试题及答案

一 试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ）。

（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)

3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比

对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23

，乙在每局中获胜的概率为13

，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。 （A ）24181 （B ）26681 （C ）27481

（D ） 670243

4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3

2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案

一、选择题（每小题6分，共48分）

1.已知集合M??1,2,3,?10?，A是M的子集，且A中各元素的和为8，则满足条件的子集A共有（ ）

A．8个 B．7个 C ．6个 D．5个 答案：C．

解：元素和为8的子集A有：?8?,?1,7?,?2,6?,?3,5?,?1,2,5?,?1,3,4?，共6个．

?3x?y?0??2.在平面直角坐标系中，不等式组?x?3y?2?0表示的平面区域的面积是（ ）

?y?0??A．

3 B．3 C．2 D．23 2答案：B．

解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别

1?2?3?3. 2?????????b3.设a,b,c是同一平面内的三个单位向量，且a?b，则c?a?c?的最大值是（ ）

是A??2,0?,O?0,0?,B1,3.易知，△AOB的面积S???????A．1?2 B．1?2 C．2 D．1 答案：A．

?????????解：方法1：因为a?b,a?b?c?1，所有a?b?0,a?b?2.

???设向量c与a?b的夹角为?，则

2004年全国高中数学联合竞赛试题

第 一 试 时间：10月16日

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角?使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则?的弧度数为（ ） A.

2? 6 B.

2?122or5? 12C.

?6or5? 12 D.

? 122、已知M?{(x,y)|x?2y?3},N?{(x,y)|y?mx?b}。若对所有

m?R,均有MA. ??N??，则b的取值范围是（ ）

B. ????66?,? 22????66?, ??22?C. (?2323,] 33D. ???2323?,? 3??33、不等式log2x?1?A. [2,3)

1log1x3?2?0的解集为（ ） 22

C. [2,4)

D. (2,4]

B. (2,3]

4、设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC的面积的比为（ ） A. 2

B.

3 2 C. 3 D.

5 35、设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ） A. 45个 B. 81个 C.

全国高中数学联赛模拟试题(十)

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M N使对任意的x M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

(A)45 (B)27 (C)15 (D)11

2、已知sin2q=a，cos2q=b，0 q ，给出值的五个：

① ; ② ; ③ ; ④ ;

⑤ .

其中正确的是：

(A)①②⑤ (B)②③④(C)①④⑤ (D)③④⑤

1/ 8

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

(A)64 (B)66 (C)68 (D)70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

(A)729 (B)972 (C)243 (D)981

5、 (其中，[x]表示不超过x的最大整数)的值为

(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数称为凸数，当且仅当它满足a b c，c d e(如12430，13531等)，则在所有的五位数中凸数的个数是

(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填

全国高中数学联赛试题及解答

1983年全国高中数学联赛

第一试

1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)

⑴ 设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么 A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ⑵ x=

1111

的值是属于区间

1

log12353

A．(－2，－1) B．(1，2) C．(－3，－2) D．(2，3) ⑶ 已知等腰三角形ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么，sinA和cosA中 A．一个是有理数，另一个是无理数 B．两个都是有理数

C．两个都是无理数 D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定 ⑷ 已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是 1

A．a≥1 B．a=1 C．a≥1 D．0<a<1

44⑸

全国高中数学联赛模拟试题（三）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集? （B）单元集 （C）二元集 （D）无穷集 2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则

a＋b等于 （A）0 （B）－1 （C）1 （D）2

3、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且

tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4

4、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其

体积为V2．则（A）

1 2V2为 V1

（B）

2 3

12和 23（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其

余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为 （A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013

6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点

组的个数是 （A）36

二○○一年全国高中数学联合竞赛题

（10月4日上午8：00—9：40）

题号 得分 评卷人 复核人 一 二 三 13 14 15 合计 加试 总成绩 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为

（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正

2010年全国高中数学联赛

江西省预赛试题

（考试时间：9月24日上午8:30-11:00）

一．填空题（共8题，每题10分，合计80分）

1．设多项式f(x)满足：对于任意x?R，都有f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x,则f(x)的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{an},{bn}满足：akbk?1,k?1,2,?,已知数列{an}的前n项和为An?列{bn}的前n项和Bn?＿＿＿＿＿＿.

n，则数n?11?x23．函数f(x)?的值域是＿＿＿＿＿＿.

x?24．过抛物线y2?8x的焦点F,作一条斜率为2的直线l，若l交抛物线于A,B两点，则?OAB的面积是＿＿＿＿＿＿.

sinA?cos(A?B)，则tanA的最大值为＿＿＿＿5.若?ABC为锐角三角形，满足

sinB＿＿.

6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,?,9随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每 行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率

p?＿＿＿＿＿＿.

8.将集合M?{1,2,?12}的元素分成不相交的三个子集：M?A?B?C，其中，且ak?A?{a1,a2,a3,a4}B?{b1,b2,b3,b4}C?

2015全国高中数学竞赛二试试题及答案

2015年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10分为一个档次，不要增加其他中间档次.

一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n≥2)是实数，证明：可以选取

ε1,ε2, ,εn∈{1, 1}，使得

n n n2

∑ai + ∑εiai ≤(n+1) ∑ai ． = i1= i1 = i1

证法一：我们证明：

n

2 2 nn

n2

∑ai + ∑ai ∑aj ≤(n+1) ∑ai ， ① = i1= i1 i1 n ==j +1

2

22

n n

（这里，[x]即对i=1, , ，取εi=1；对=i +1, ,n，取εi= 1符合要求．

2 2

表示实数x的整数部分．） …………………10分

事实上，①的左边为

州奥

2 ∑ai i=1

n 2

2

n n 2 2 nn

2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

（6月14日上午8:30??11:30）

一、填空题

1、若三位数n?abc是一个平方数，并且其数字和a?b?c也是一个平方数，则称n为

超级平方数，这种超级平方数的个数是 ．

答案：13个．

解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961．

2、函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是 ．

答案：23．

解：y?x(8?x)?(x?6)(8?x)?8?x?x?x?6??68?xx?x?6，

其定义域为6?x?8，当x?6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为23．

3、直线l过点M(1,2)，若它被两平行线4x?3y?1?0与4x?3y?6?0所截得的线段长

为2，则直线l的方程为 ．

答案：x?7y?15或者7x?y?5．

解：设l的方程为y?2?k(x?1)，将此方程分别与4x?3y?1?0及4x?3y?6?0联立，?3k?7?5k?8??3k?12?10k?8?,,解得交点坐标A??与B??，据AB?2， 3k?43k?43k?43k?4?