解析几何对称问题经典例题

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

浅谈解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称；线（直线或曲线）关于点成中心对称；点关于线成轴对称；线（直线或曲线）关于线成轴对称。无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题

定义：把一个图形绕某个点旋转180o 后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1． 点关于点对称

例1． 求P （3，2）关于M （2，1）的对称点P ’的坐标。

分析：由中心对称的性质得M 点是PP ’的中点，可求P ’（1，0） 。

小结：P （x 0,y 0）???????→?的对称点，（关于点)b a M P ’（2a －x 0,2b －y 0）（依据中点坐标

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0

第十五讲.解析几何中的对称问题I

【教学目标】

1.掌握两点的中点坐标公式；

2.掌握一个点关于已知点的对称点坐标公式； 3.会求解点对称的相关问题

【知识、方法梳理】

1.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标是(x1?x2y1?y2,) 222.P(x,y)关于M(a,b)的对称点坐标是(2a?x,2b?y)

【典例精讲】

例1.已知点A(1,2),B(3,4),点M,N满足：M为AB中点，B为AN中点， （1）求M的坐标。 （2）求N的坐标。

例2.已知l1:x?y?3?0,l2:x?y?3?0，点P为直线l1上的动点，定点A(?1,4)，当AP的中点M落在l2上的时候，求P的坐标

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,?1)，当线段NP?例3.已知P为直线l:2x?y?3?0上的动点，P关于M(3,2)的对称点为P?，记N(2的长度为5的时候，求P的坐标

例4.直线l被两条直线l1:4x?y?3?0和l2:3x?5y?

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0

高中数学解析几何部分对称问题的研究

新乡市第一职业高中 冷中军（453000）

高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x轴、y轴、直线y= x）的轴对称。

现分述如下： 1、 关于中心对称

1.1、 关于坐标原点中心对称

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于坐标原点O（0，0）的对称点P（x,y）。

y y0

y y0 0

2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线L'：F(-x，-y)=0。 1.1.1、

点关于坐标原点中心对称

例如，点A（-3，2）关于坐标原点的中心对称点A'（3，-2）。

1.1.2

高中数学解析几何部分对称问题的研究

新乡市第一职业高中 冷中军（453000）

高中数学解析几何中对称问题很多，在高考中出现的频率也较高，但现行教材中却讲得很少，令学生不知从何处着手。所以笔者对此进行了初步研究，并总结成文，以期对学生有所帮助。

解析几何中对称问题研究的原因：一是从图形上看圆锥曲线有很好的对称性；二是从量的方面看，对称意味着两个常用等量关系：对称轴——线段的垂直平分线，隐含着垂直（斜率负倒数、向量内积等于零）、平分（线段中点坐标适合对称轴方程）两个关系；对称中心——线段的中点、中点坐标公式也是两个关系。

解析几何中对称问题研究的分类：一是关于点对称，即中心对称，包括特殊的点（坐标原点）对称；二是关于直线对称，即轴对称，包括特殊轴（如x轴、y轴、直线y= x）的轴对称。

现分述如下： 1、 关于中心对称

1.1、 关于坐标原点中心对称

理论推导：如图，点P0(x0,y0)关于坐标原点O（0，0）的对称点P（x,y）。

y y0

y y0 0

2

引申：曲线L：F(x，y)=0，关于坐标原点的中心对称曲线L'：F(-x，-y)=0。 1.1.1、

点关于坐标原点中心对称

例如，点A（-3，2）关于坐标原点的中心对称点A'（3，-2）。

1.1.2

第1页，共8页

有关解析几何的经典结论

一、椭 圆

点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.

PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点

以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆

内切.

X

V 椭圆— 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,点P 为椭圆上任意一点

a b

2 Y

ZF 1PF 2 =,则椭圆的焦点角形的面积为

S F 1PF 2 =b tan?. 2 2 X

V 椭圆二 2 -1 (a > b > 0)的焦半径公式:

a b

| MF 1 Ha ex o , ∣MF 2 戶a -eχ√ F'-c,。)，F 2(c,O) M (X ), y °)). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MF ⊥ NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，

AP 和A 2Q 交于点 M A2P 和AQ 交于点 N 贝U MF ⊥N

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲

（2006年10月重印版）

课程编号 22143102

课程名称 解析几何

课程类别 专业必修

教材名称 解析几何

制 订 人 汤建良

审 核 人 刘则毅

2005年 4 月修订

- 1 -

汤建良：《解析几何》课程教学大纲

一、课程设计的指导思想

（一）课程性质 1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（应用数学方向） 3．开设学期：第壹学期 4．学时安排：周学时3，总学时42 5．学分分配：3学分 （二）开设目的 解析几何是中学几何的继续与发展，既有深刻的数学理论意义，也有广泛的实际应用价值。在实际工程中的许多重要领域都有它的应用价值。通过本课程的学习，同学们还可以加深对中学三角和几何学的认识与理解，有助于解决一些初等数学问题。解析几何的一些思想方法在数学中具有普遍性。通过本课程的学习，能使学生提高数学素养，并为学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 （三）基本要求 掌握解析几何的基本理论与方法，深刻理解解