基本不等式几何证明

《 基本不等式的证明》教学设计

【教材分析】

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。

【学情分析】

学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。

【教学目标】

知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平

均数和几何平均数。

2、理解基本不等式的证明过程。

技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法

●教学目标：1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.

2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理

●教学过程：

一、复习引入：

1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？

2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法

二、讲授新课：

1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。

用综合法证明不等式的逻辑关系是： 例1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证： . 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc ∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.

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3.4.1 基本不等式的证明（2）

江苏省靖江高级中学 卜海霞

教学目标：

一、知识与技能

1．进一步掌握基本不等式； 2．学会推导并掌握均值不等式定理；

3．会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同． 4．使学生能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用．

二、过程与方法

通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．

教学重点：

均值不等式定理的证明及应用． 教学难点：

等号成立的条件及解题中的转化技巧．

教学方法：

先让学生回顾两个重要不等式，然后由两个具体问题入手让学生分组讨论得到两个最值定理（其证明可由学生完成），然后通过一些例题来讲解如何利用最值定理求最值，并让学生从中体味出如何创设情境用定理．

教学过程：

一、问题情境

提问：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式，请同学们回忆一下，这

1

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两个重要不等式

数学高考总复习：基本不等式与不等式的证明

编稿：林景飞 审稿；张扬 责编：严春梅 知识网络

目标认知

考试大纲要求：

1. 了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 2．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①

； ②

；

3．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.

4．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.会用数学归纳法证明贝努 利不等式：

为大于1的正整数）；了解当n为实数

时贝努利不等式也

成立.

5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.

重点：

会用基本不等式、柯西不等式等解决简单的最大（小）值问题；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.

难点：

利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特别注意等号成立条件；不等式的证明。

知识要点梳理

知识点一：绝对值不等式的性质

1．

；

2．

；

知识点二：基本不等式

1、如果

那么

当且仅当

时取

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

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基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

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一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B．能力目标：通过实例探究基本不等式；

C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；

2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，

篇一：获奖说课稿-基本不等式

《基本不等式》说课稿

各位评委老师，大家好，我说课的题目是《基本不等式》，本节课选自人教A版数学

必修5第三章第四节第一课时，我将从以下五个方面阐述我对这节课的设计： 一、教材分析

作为高中阶段必修的最后一部分内容，基本不等式具有丰富的实际背景．不但可以用来求某些函数的最值，同时也是证明不等式的理论依据，是高考考查的重点内容之一. 二、目标分析

教学目标：（1）探索基本不等式的证明过程；

（2）应用基本不等式解决简单最大（小）值问题

依据教学目标确定如下的重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

难点:利用基本不等式求最大值和最小值。 三、教学设计

1.引用2002年北京国际数学家大会会标并介绍弦图背景资料 设计意图：激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性

探究1：图中有哪些相等关系和不等关系？

正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=_,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=＿

从图形中易得，s>s’,即 a?b?2ab

问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？（学

不等式导学案

教学目标：（1）学会推导不等式ab?a?b，理解不等式的几何意义。 2 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式ab?a?b的推导及应用。 2教学难点：理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。 教学过程：

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会

上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？

设小直角三角形的两条直角边为a、b，

则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ，当且仅当 时,等号成立.

特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b

题型1 基本不等式正用a＋b≥2ab

1

例1：(1)函数f(x)＝x＋(x>0)值域为________；

x1

函数f(x)＝x＋(x∈R)值域为________；

x1

(2)函数f(x)＝x2＋2的值域为________．

x＋11

解析：(1)∵x >0，x＋≥2

x

1x·＝2， x

∴f(x)(x >0)值域为[2，＋∞)；

当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x2＋≥211

＝(x2＋1)＋2－1 x＋1x＋1

21?x2＋1?·2－1＝1，

x＋1

当且仅当 x＝0 时等号成立．

答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)

4

4．(2013·镇江期中)若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1

44

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.

x－1x－14

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－1答案：5

4

[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．

x (1)∵x＜0，∴－x＞0， 44

∴f(x)＝2＋＋x＝2－?－x＋?－x??.

x??

44

∵－＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．

x－x4

∴f(x)＝2