大学高等数学第一章函数与极限

高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题

1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

（A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数f(x)?1x,则 ex?1?1（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点

（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.

x?113．设f(x)=x，x≠0,1,则f[f(x)]= ( )

11A） 1－x B） 1?x C） X D） x

4．下列各式正确的是 ( )

xA） lim(1+ 1=1 B） x?0?x)lim(1x=e

x?0?1+ x)x?xC） lim(1－ 1=-e D） lim(1+ 1x??x))=e

x??x 1

5．已知limx?ax??(x?a)x?9，则a?(

第一章 函数与极限习题课

Ⅰ 数列与函数的极限

一、数列极限1.数列极限的定义 数列极限的定义

lim x n = a n→ ∞

ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有 x n a < ε.几何解释: 几何解释

a εx 2 x1 x N + 1

2εa

a+εx N + 2 x3x

当n > N时, 所有的点 x n 都落在 ( a ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.

2.数列极限的运算法则 .

(1) lim(ax n ± byn ) = a lim x n ± b lim yn = aA ± bBn→ ∞ n→ ∞ n→ ∞

( 2) lim( x n yn ) = lim x n lim yn = ABn→ ∞ n→ ∞ n→ ∞

x n lim x n A ( 3) lim ( B ≠ 0时 ) = n→ ∞ = n→ ∞ y lim yn B nn→ ∞

3.数列极限的主要性质 .

(1)有界性：若 lim x n = A, 则 M > 0, 使得 | x n |< M 有界性：n→ ∞

( 2)唯一性：若 lim x n

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

机动

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一、 集合1. 定义及表示法

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征

ai

n i 1

自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , n

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理

《高等数学》（微积分）教案

【教学内容】§1.1 函数

【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】2学时 【教学过程】

一、组织教学，引入新课

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系

?封闭性??有序性（3）实数的性质： ?

?稠密性?连续性?2、实数的绝对值

?x,x?0（1）绝对值的定义：x??

?x,x?0?（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x?5?3，② x?1?2 3、区间

（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间

设a与b均为实数，且a?b，则

1

《高等数学》（微积分）教案

数集{xa?x?b}为以a、b为端点的闭区间，记作[a，b] 数集{xa?x?b}为以a、b为端点的开区间，记作（

高等数学

多元函数微分法 及其应用学习总结

一．知识结构图

多元函数微分学：

? ? ? ? ? ? ? ?

基本概念（区域.定义.极限.连续） 偏导数（定义.计算.高阶偏导数）

全微分（定义.计算.必要条件.充分条件） 多元复合函数导数（链式法则.全导数） 隐函数求导法则（一个方程.方程组）

多元函数微分学的几何应用（曲线以及曲面的切线和法平面） 方向导数及其梯度

多元函数最值及其求法

二．内容提要

1) 二次极限定义： 设f（x，y）的区域D内有定义，p0(x0,y0)是D的聚点，若??>0，???0，

当点P(x,y)满足0?|pp0|

x?x0,y?yolimf(x,y)?A或

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A.

2） 二元函数连续性定义

设函数Z?f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域U(P0,?)内有定义，若

x?x0,y?y0limf(x,y)?f(x0,y0)，则称二元函数Z?f(x,y)在点p0(x0,y0)处连续，点

p0(x0,y0)称为f(x,y)的连续点。

设函数Z?f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域U(P0,?)内有定义，分别给自变量x,

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

第一章 函数·极限·连续

知识点：

?义域?函数的定义和函数的定??函数的简单性质???函数??基本初等函数??复合函数与初等函数?????简单的经济函数模型???定义?数列极限与函数极限的???函数的左、右极限????极限?无穷大量和无穷小量??极限的四则运算法则?????两个重要极限????函数连续的定义??间??函数的间断点与连续区?连续?初等函数的连续性????质 ?闭区间上连续函数的性??教学目的要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；

第一章 函数与极限

第一章 函数与极限答案

第一节 映射与函数

1.填空题: （1）x??1,??x?1?1?x?0x??2； （2）y??； （3）{0}； （4）a；

0?x?1???xx?2

2?x?32?(x-1）x?1 （5）， x；（6）f(x-1)??x?3?x2. 选择题:

（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B； （5） B； （6）C； （7）C ； 3． a?2,b?1,c?0；4． 2(1?x2)；

g(x?1)?2x2?5x?3；

?(?x)2?x2?x?0x?05. f(?x)??，即： f(x)??22?(?x)?(?x)?x?0?x?xx?06. 解：2f(x)?f(1?x)?x2 （1）

令x?1?t 得

2f(1?t)?f(t)?(1?t)2

2f(1?x)?f(x)?(1?x)2 （2）

x2?2x?1由（1）和（2）得；f(x)?

37． （1）y?|sinx|； （2）y?sin|x|； （3）y?2sinx.

2

8．设f[g(x)]由y?f(u),u?g(x)复合而成

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其