按年龄分组的种群增长的差分方程模型

幻灯片1

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

幻灯片2

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降

减少产量

现 象

数量与价格在振荡

供不应求

增加产量

价格上涨

描述商品数量与价格的变化规律 问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

幻灯片3

蛛 网 模 型

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系

yk?f(xk) 减函数

需求函数

供应函数

生产者的供应关系

增函数

xk?1?h(yk)

yk?g(xk?1)

y

f 0

x

g

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点

y0

P0

x0

一旦xk=x0，则yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

幻灯片4

yk?g(xk?1)

yk?f(xk)

蛛 网 模 型

设x1偏离x0

xk?1?h(yk)

x1?y1?x2?y2?x3??

xk?x0,yk?y0

xk?x0,yk?y0

幻灯片1

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

幻灯片2

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降

减少产量

现 象

数量与价格在振荡

供不应求

增加产量

价格上涨

描述商品数量与价格的变化规律 问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

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蛛 网 模 型

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系

yk?f(xk) 减函数

需求函数

供应函数

生产者的供应关系

增函数

xk?1?h(yk)

yk?g(xk?1)

y

f 0

x

g

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点

y0

P0

x0

一旦xk=x0，则yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

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yk?g(xk?1)

yk?f(xk)

蛛 网 模 型

设x1偏离x0

xk?1?h(yk)

x1?y1?x2?y2?x3??

xk?x0,yk?y0

xk?x0,yk?y0

模型1 蛛网模型

经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周

期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 模型假设与模型建立

将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示； 设第n个时段商品的数量为

，价格为

，n=1,2….;

由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有

（3. 3）

这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量

是决策者根据这期的价格决定的，即：设

，

h是单调增加的对应关系， 从而，有关系：

（3.4）

g 也是单调增加的对应关系. 因此可以建立差分方程：

（3.5） （3.6）

这就是两个差分方程。属

差分方程在数学模型中的应用

皇甫慧 20101104821

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班

指导老师 李伟军

摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学

研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。

关键字：差分、变量、模型

1.种群生态学中的虫口模型:

在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产

Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：

这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:

2Pn?1?cPn?bPn

112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个

:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型

差分方程在数学模型中的应用

皇甫慧 20101104821

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班

指导老师 李伟军

摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学

研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。

关键字：差分、变量、模型

1.种群生态学中的虫口模型:

在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产

Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：

这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:

2Pn?1?cPn?bPn

112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个

:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型

差分方程在数学模型中的应用

皇甫慧 20101104821

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班

指导老师 李伟军

摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学

研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。

关键字：差分、变量、模型

1.种群生态学中的虫口模型:

在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产

Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：

这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:

2Pn?1?cPn?bPn

112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个

:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型

种群的逻辑斯蒂增长

【实验目的】

1.认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。

2.了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用，领会逻辑斯蒂模型中生物学特性参数r与环境因子参数—生态学特性参数K的重要作用。

3.学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进行曲线拟合的方法。

【实验原理】

1.由于环境是有限的，种群指数增长只是暂时的，多发生在种群增长的早期阶段，密度很低、资源丰富的情况下。随着种群密度增大，资源缺乏，影响到种群的增长率，使其降低。 受自身密度影响的种群增长称为与密度有关的增长，分为离散的和连续的两类

逻辑斯蒂方程增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单形式，又称为阻滞增长。种群在有限环境下的增长曲线是S型的，它具有两个特点：

（1）S型增长曲线有一个上渐近线，即S型增长曲线逐渐接近于某一个特定的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大环境容纳量，通常用K表示。当种群大小达到K值的时候，将不再增长

（2）S型曲线是逐渐变化的，平滑的，不是骤然变化的。 基

自然界的多种群模型分析

小组成员：杨宏志

曾云霖赵恒宇1

09053055 09053057 09053060

目录

摘要 第3页 关键词 第3页 问题重述 第3页 符号说明 第4页 基本假设 第4页 问题分析 第4页 正文 第5页 总结与思考 第12页 参考文献 第13页

（注：正文中包括对模型的建立，模型的具体检验，模型的改进，改进模型的检验以及问题的扩展深化。）

2

自然界的多种群模型分析

摘要：在我们生活的大自然中，有着太多太多的秩序和规则。种群之间的你争

我斗，弱肉强食也是非常激烈。种群，顾名思义就是指同一种生物的一个集合。不同种群之间的关系大致分为四种：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系和寄生与寄主关系。我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的，下面我将从这几个方面来进行分类讨论，由于寄生与寄主的关系不是很常见，关系也比较简单，在此便不再赘述。

捕食与被捕食关系：这种关系很简单，大家也能很容易地理解，

市场需求函数由下式给出：

qtD=A+Bpt

其中，qtD为t时刻的需求量，pt是t时刻的市场主导价格

我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此，t时期市场的共给量是在t－1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格，那么时期t的供应量由下式给出：

qtS=F+GEt?1(pt)

为了使模型更加的完整，我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中，我们假定

Et?1(pt)=pt?1

这意味着，供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。

假定在每一期价格都会调整到市场出清水平，那么每一期的供给和需求都相等。这意味着

A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理，可以求得pt：

pt=

GF?Apt?1? （18.8） BB该式说明，价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程（以t和t-1，而不是t和t+1的项表示）。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。

按照上述做法，我们求得

p=

A?F G?B注意，稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。

比较等式（18.8）和等式（18.1），我们知道

血样分组检验的数学模型

刘学

江南大学 食品学院 食品质量与安全0902班

摘 要： 本文以血样分组检验为原型，通过建立数学模型，利用概率统计，数学期望值等知识对如何分组检验以及什么情况下需要进行分组检验作出了合理的解释，并且可以结合实际情况，将该模型进行深入和推广。

关键词：血样分组检验，数学模型，概率统计, 数学期望值

问题提出：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽查N个人的血，可以有两种方法进行：（1）将每个人的血分别去捡；（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明这k 个人的血液呈阴性反应，这样这k个人的血就只需验一次；如呈阳性，则再对这k 个人的血分别化验。这样这k 个人的血总共要化验k+1次。假如每个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验反应是相互独立的。

（1）试讨论什么条件下按第二种方法可减少化验次数，并论证你们的结论； （2）对给定的p值（足够小），讨论k取何值最适宜。

问题分析：本问题在现今医学研究、病毒检验等诸多医学问题中是一个很普遍的问题。由于进行某种疾病的调查需要大量的统计数据，为了提高检验的效率，以最少的检验次数达到最终的检验效果，就必然要面