对称矩阵的特征值计算技巧

高阶对称矩阵特征值的计

算毕业论文

目录

摘要 .................................... 错误！未定义书签。 Abstract ................................ 错误！未定义书签。 目录 ..................................................... 1 引言 .................................... 错误！未定义书签。 1 关于矩阵特征值的概念 ................................... 2 1.1 矩阵特征值和特征向量的定义 ........................... 2 1.2矩阵特征值的计算方法 .................................. 2 1.3对称矩阵特征值的一些性质 .............................. 3 2高阶对称矩阵特征值的计算方法............................ 4 2.1Jacobi旋转法 .......................................

第18卷第3期2002年9月

北京建筑工程学院学报

JOURNALOFBEIJINGINSTITUTEOFCIVILENGINEERINGANDARCHTECTURE

Vol.18No.3Jun.2002

文章编号:1004-6011(2002)04-0058-03

大型实对称矩阵特征值的数值解法

刘长河 寿玉亭 马龙友 代西武 刘世祥

(基础部,北京,100044)

摘 要:本文介绍计算稀疏大型实对称矩阵特征值的方法 Davidson方法。并把它与矩阵的拟上三角化方法结合起来,得到一种求一般大型实对称矩阵特征值的方法。关键词:特征值;三对角矩阵;Davidson方法.中图分类号:O241 6 文献标识码:A

0 引言

早在19世纪中叶,Jacobi就给出了求实对称矩阵的特征值的数值解法 经典Jacobi方法。此后,人们研究出关于矩阵的特征值及特征向量的许多新的数值解法。如幂方法,Krylov方法,Lanczos方法,Frame方法,QR方法等。特别是近几十近来,随着现代科学的发展,不断地提出一些大型的矩阵计算问题。同时,计算机技术的飞跃、计算能力的增强,使解决这些问题成为现实。Davidson方法便是目前应用较广的计

本科毕业论文（设计）

题 目 高阶对称矩阵特征值的计算 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 XXXXXXXXXX

学 号 09020107 指导教师 XXXXXX 职称 XXXXXX 论文字数 9155

完成日期: 年 月 日

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>> x=[1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2,1,1;1/3,1/5,3,1,1] x =

1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 1.0000

>> [V D]=eig(x) V =

-0.4658 0.4419 + 0.2711i 0.4419 - 0.2711i -0.3672 + 0.2415i -0.3672 - 0.2415i

-0.8409 0.7773 0.7773 0.8575

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 =

第15章 求矩阵特征值和特征向量

幂 法

幂法规范化算法

1. 输入矩阵A、初始向量u，误差eps 2. k?1

3. 计算V(k) ?Au(k-1)

4. mk ?max(V), mk-1 ?max(V) 5. uk ? V(k)/mk

(1)

6. 如果| mk - mk-1|

注：如上算法中的符号max(V)表示取向量V中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。

(k)

(k-1)

(0)

规范化幂法程序

Clear[a,u,x];

a=Input[\系数矩阵A=\；

u=Input[\初始迭代向量u(0)=\； n= Length[u];

eps= Input[\误差精度eps =\；

nmax=Input[“迭代允许最大次数nmax=”]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},

Do[m1=Abs[x[[k]]];

If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[

第四章 矩阵的特征值和特征向量

60??4??并判断它能否相似对角化。

例1 求下列矩阵的特征值与特征向量A??3?50，若能，

?????3?61??求可逆阵P，使PAP??（对角阵）。

例2 已知三阶方阵A的三个特征值为?2,3,4，则A的特征值为_______，A的特征值为_______，A 的特征值为_______，A?3A?2E的特征值为_______

*?1T?12?001???例3 设矩阵A?x1y 有三个线性无关的特征向量，则x,y应满足条件_______ ????100???200??200?????例5 已知矩阵A?002与B?0y0相似，则x?______y?______ ???????00?1???01x??例6 设n阶方阵A满足A?3A?2I?0，求A的特征值

2?211????1例7 已知向量??(1,k,1)T是矩阵A?121的逆矩阵A的特征向量，求常数k

????112??例8 设A为非零方阵，且A?0 (m为某自然数)，证明：A不能与对角阵相似 例9 设n阶方阵A满足A?7A?10I?0，求证：A相似于一个对角矩阵

结

2m论 总结

1

关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论

福建农林大学 尤天革

一、特征值与特征向量的概念

1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，?为其线性变换，A是?在基??i?下的方阵表示。若λ∈F及非零向量?∈V使

??=λ? 或Ax=λx

（x是?在基??i?下的坐标列），则称λ为?或A的特征值或特征根，?称为?的属于λ的特征

向量，x称为A的特征向量。

2、结论：设?是数域F上的线性变换，A是线性变换?在基?1，?2，…，?n下的矩阵，则线性

变换?与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是?的特征向量在基?1，?2，…，?n下的坐标。

特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书前面所学知识的一个应用，有关

特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。

二、特征值与特征向量的几个例子

例1 试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。

证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱(AB??E)'︱=︱B'A'??E︱=︱BA－λE︱ 于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。 证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征

第五章 求矩阵特征值与特征向量

n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程

det(A??I)?0

的n个根，方程A属于特征值?的特征向量x是线性方程组

Ax??x

的非零解。本章讨论求方阵A的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。

5.1 幂 法

在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。

5.1.1幂法的基本思想

幂法是求实方阵A按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量x0，然后作迭代序列

xk?1?Axk，k?0,1,??? （5。1）

再根据k增大时，xk各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A的按模最大特征值及其特征向量。

先看一个计算实例。 例1 设矩阵

?1A???22?? 1?用特征方程容易求得A的两个特征值为

?1??1，?2?3

下面用幂法来计算，取初始向量x0??1,0?，计算向量序列 xk?1?Axk，k