第四章 不定积分

不定积分

高等数学习题课电子教程

哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心

Department of Mathematics, College of Sciences

不定积分

高等数学习题课电子教程主要内容介绍 典型例题选讲 课堂自主练习

Department of Mathematics

不定积分

基 本 概 念熟练掌握的概念原函数、不定积分等 原函数、

理解的概念不定积分的性质

Department of Mathematics

不定积分

基本计算能力基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分 简单的无理函数的积分Department of Mathematics

不定积分

应掌握的定理、性质、公式 应掌握的定理、性质、原函数存在定理 分部积分公式 换元积分公式

Department of Mathematics

不定积分

怎样计算不定积分？ 怎样计算不定积分？不定积分计算的基本思想： 不定积分计算的基本思想： 求不定积分是求导的逆运算 导数基本公式——积分基本公式 积分基本公式 导数基本公式 微分法——积分法 积分法 微分法 逆运算Department of Mathematics

反想

不定积分

例1

∫

sin2x 4 cos x4

dxd(cos2 x) = 2

第四章 不定积分 习题课

1．原函数 若F?(x)?f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数． 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可表示为F(x)?C．

2．不定积分 f(x)的带有任意常数项的原函数叫做f(x)的不定积分，记作?f(x)dx．

若F(x)是f(x)的一个原函数，则?f(x)dx?F(x)?C， 3．基本性质

1）[?f(x)dx]??f(x)，或d[?f(x)dx]?f(x)dx； 2）?dF(x)?F(x)?C，或?F?(x)dx?F(x)?C； 3）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx； 4）?kf(x)dx?k?f(x)dx，（k?0，常数）．

4．基本积分公式（20个）

原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。

不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题

例1 已知f(x)的一个原函数是ln2x，求f?(x)．

?21?2lnx??(1?lnx)． 解 f(x)?(lnx)??2lnx?， f?(x)???2xx?x?2. 1 .

例2 设?f(x)dx?2sinx2?C，求f(x)． 解 积分

第四章 不定积分

习 题 4-1

1.求下列不定积分： （1）解：?(1xx?5xx)dx??(xx?1235?5x2)dx?2x?2x2?C

（2）解：?(2?3)dx?（3）略. (4) 解：?(1x?12x242ln2?2?6xln6?9x2ln3?C

?cot2x)dx??1x?12dx??(csc2x?1)dx

=arcsinx?cotx?x?C

(5) 解：?102(6) 解：?sin(7)?2x3xdx ??108dx?dx=?xx?80xdx?1280xln8012?C

x2?21(1?cosx)dx?2x?sinx?C

cos2xcosx?sinxdx ??cosx?sin2xcosx?sinxcos2dx??(cosdx?x?sinx)dx??sinx?cosx?C

(8) 解：?cos2xcos2xsin2xdx??x?sin22xcosxsin2x?(1sin2x?1cos2x)dx

??cotx?tanx?C

(9) 解： ?secx(secx?tanx)dx??sec2xdx??secxtanxdx?tanx?secx?C

第四章 不定积分

一、学习目的与要求

1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。 2、熟记不定积分的基本公式。

3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。 4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。 5、会求简单无理函数的不定积分。

二、学习重点

不定积分的换元法与分部积分法

三、内容提要

1、原函数与不定积分的概念 若F?(x)?f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函数，若 。 F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的原函数的一般表达式为F(x)?C（C为任意常数）

f(x)的原函数的一般表达式称为f(x)的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

2、基本性质（下设a,?为常数）

（1）(af(x)??g(x)dx?af(x)dx??g(x)dx （2）(f(x)dx)??f(x)或d(f(x)dx)?f(x)dx;3、基本积分公式（下设a?0）

??????f?(x)dx?f(x)?C或?df(x)?f(x)?C.

xa?11（1）xdx??C(a??1), （2）dx?ln|x|?C,

a?1x?a?（3）exdx?ex?C,

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

不定积分

内容要点

1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个？ 一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质

设 ?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?为f?x?的一个原函数，C为任意常数。则 （1）

?F??x?dx?F?x??C

?? 或?dF?x??F?x??C

???（2） ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx

（3） （4） ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3．原函数的存在性 1）设f?x?在区间I上连续，则f?x?在区间I上原函数一定存在 2）初等函数的原函数不一定是初等函数

?sin?x2?dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx

2二、基本积分公式 1．?xdx?1aa?1?C （a??1，实常数）

2．?dx?lnx?C

x3．?adx?x1lnaxa?C （a?0，a?1）

x?exdx?e?C

4．?cosxdx?sinx?C 5．?sinxdx??cosx?C

6．?secxdx?7．?cscxdx?22?co

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx

不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1．計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D