快速傅里叶变换算法推导

快速傅里叶变换算法

第8章 DFT的有效计算：快速傅里叶变换算法 的有效计算： 的有效计算 在数字信号处理的许多应用中，如线性虑波、 在数字信号处理的许多应用中，如线性虑波、 相关分析和谱分析等， 离散傅里叶变换( DFT) 相关分析和谱分析等 ， 离散傅里叶变换 ( DFT ) 扮演非常重要的角色， 扮演非常重要的角色，它之所以重要的主要原 因是存在计算DFT的有效算法。 DFT的有效算法 因是存在计算DFT的有效算法。 介绍两类不同的计算方法，一是分解征服方法。 介绍两类不同的计算方法，一是分解征服方法。 第二类方法将数据的DFT运算视为数据的线性 第二类方法将数据的 运算视为数据的线性 滤波运算，以此为基础导出Goertzel算法和线 滤波运算，以此为基础导出 算法和线 性调频变换算法， 性调频变换算法，后者就是通过对数据序列做 线性滤波来计算DFT的。  线性滤波来计算 的1

快速傅里叶变换算法

8.1

DFT的有效计算：FFT算法 DFT的有效计算：FFT算法 的有效计算

DFT 的 计 算 复 杂 性 ： D FT : X (k ) =

∑

N 1 n=0 N 1

x ( n )W Nkn , X ( k )W N nk ,

0 ≤ k ≤

实用标准文案

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上

前言

第一部分、DFT

第一章、傅立叶变换的由来

第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下

第三章、复数

第四章、复数形式离散傅立叶变换

/************************************************************************************* **************/

这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。

/************************************************************************************* *************/

前言：

“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大文档

实用标准文案

都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，

那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?

傅里叶变换（Fourier

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

题 专 业学 号

姓 指 导学 院

2015 届毕业设计(论文)

目 快速傅里叶变换算法及其在信号处理中的应用

班 级 2011电子信息工程02 1104030231 名 周汝耀 教 师 华夏讲师 名 称 电气信息学院

2011 年 6 月 9 日

武汉工程大学毕业设计(论文)说明书

摘 要

快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得 的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系

实验七快速傅里叶变换实验

2011010541 机14林志杭

一、实验目的

1 ?加深对几个特殊概念的理解：“采样”……“混叠”；“窗函数”(截断)……“泄漏”;

“非整周期截取”……“栅栏”。

2 ?加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。

3 ?对利用通用微型计算机及相应的FFT软件，实现频谱分析有一个初步的了解。

二、实验原理

为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析一一计算信号的频谱。由于

计算机只能进行有限的离散计算(即DFT),因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。

而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与信号的实际

频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。因此在时域处理信号时要格外小心。

时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”，要求时域采样时必须满

足采样定理，即：采样频率fs必须大于信号中最高频率fc的2倍(fs> 2fc)。因此在信号

数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。

频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩

散(如由一个3( f)变成一个

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3-2 非正弦周期函数展开成傅里叶级数

周期信号是定义在(-∞,∞)区间，每隔一定时间一般表示为

，按相同规律重复变化的信号。

式中，为该信号的重复周期，其倒数称为该信号的频率，记为

或角频率

对于非正弦周期函数，根据定理3-1，可以用在区间集来表示。下面讨论几种不同形式的表示式。

内完备的正交函数

一、 三角函数表示式

由上节讨论可知，三角函数集

内为完备正交函数集。根据定理3-1，对于周期为

都可以精确地表示为

在区间

的一类信号(函数)中任一个信号

的线性组合，即对于

有

由式(3-10)，得

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式(3-13)称为周期信号

的三角型傅里叶级数展开式。从数学上讲，当周期信号

满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。

若将式(3-13)中同频率项加以合并，还可写成另一种形式，即

比较式(3-13)和式(3-15)，可看出傅里叶级数中各量之间有如下关系：

式(3-15)称为周期信号的余弦型傅里叶级数展开式。

式(3-13)和式(3-15)表明，任何周期

５卷第５期　第２０１３年５月　２

强激光与粒子束

ＨＩＧＨＰＯＷＥＲＬＡＳＥＲＡＮＤＰＡＲＴＩＣＬＥＢＥＡＭＳ　　　　　　

Ｖｏｌ．２５，Ｎｏ．５　

，Ｍａ２０１３　ｙ

（）文章编号：００１４３２２２０１３０５１１２９０５　１－－－

基于快速傅里叶变换的四种相位解包裹算法

２

，王华英１，　于梦杰１，　刘飞飞１，　刘佐强１

＊

（）１．河北工程大学信息与电气工程学院，河北邯郸０５６０３８；５６０３８　２．河北工程大学理学院，河北邯郸０

采用理论分析与计算机模拟及实验验　　摘　要：　为了快速准确地对含有噪声的包裹相位图进行相位展开，——四次Ｆ、对基于快速傅里叶变换（的四种典型算法—二次Ｆ证相结合的方法，ＦＦＴ）ＦＴ算法（４ＦＴ）ＦＴ算法－Ｆ（、四次离散余弦变换算法（及横向剪切干涉与Ｆ作了对比研究。结２ＦＴ）４ＣＴ）ＦＴ相结合的算法（ＬＳＦＴ）－Ｆ－Ｄ－Ｆ果表明：２ＦＴ算法运行速度最快，４ＦＴ算法次之，ＬＳＦＴ算法速度最慢；４ＦＴ算法对含有较强噪声和轻－Ｆ－Ｆ－Ｆ－Ｆ微欠采样的实验数据的处理效果是最好的；ＬＳＦＴ算法对强噪声数据的处理效果最差。－Ｆ　　关键词：　相位解包裹；　快速傅里叶变换；　离散余弦变换；　噪声；　欠采样

：／４３８．１　　　　文献标志码：ｏｉ１０．３

快速傅里叶变换（FFT）的DSP实现

（天津大学电子信息工程学院）

摘要：本文介绍了快速傅里叶变换（FFT）的快速高效的原理及实现方法，对快速傅立叶变换（FFT）的特点进行了研究和总结。对于快速傅立叶变换（FFT） 在TMS320C54X系列数字信号处理器（DSP）实现中出现的计算溢出等问题进行了分析并提出了解决方法，同时据此使用DSP实现了快速傅立叶变换（FFT）。 关键词：数字信号处理；快速傅立叶变换；反序；计算溢出

1 引言：

傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换方式，在语音处理、图像处理、信号处理领域中都发挥了极大的作用，是一种重要的分析工具。离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式，具有非常广泛的应用。但是由于DFT的计算量很大，因此在很长一段时间里其应用受到限制。快速傅里叶变换（FFT）是实现普通离散傅里叶变换的一种高效方法，快速傅里叶变换（FFT）的出现使得傅里叶变换在实际中得到了广泛的应用。

快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法。它是DSP领域中的一项重大突破。由于考虑了计算机和数字硬件实现的约束条件，研究了有利于机器操作的运算结构，使DSP的计算时间缩短了一到两个

实验一 快速傅里叶变换及其应用

一、实验目的

1．在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。

2．熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。

3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。

4．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。

二、实验原理与方法

在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：

反变换为：

有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。

FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度

。它的效率高，程序简单，

使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。

(一)在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生