三角函数同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系

【课前复习】

1．叙述任意角三角函数的定义． 2．计算下列各式的值：

sin30°＋cos30°＝_______________；sin420°＋cos420°＝________________；

2

2

2

2

sin45?5?cos45?＝_______________；tan6

【学习目标】

5?·cot6＝_______________．

1．掌握同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．

【基础知识精讲】

22

sin?＝1，cos?＝tanα，tanαcotα＝1．

本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定． 1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．

2．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：

（1）关系式中要注意同角．例如sinα＋cosβ＝1就不恒成立．

2

2

（2）关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α＝1就不成立．

2

k?＝22

（k∈Z）时，tanα·cotα

2

（3）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，

同角三角函数的基本关系

汕尾市城区田家炳中学

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角?是一个任意角，?终边上任意一点P(x,y)，它与原点的距离为

r(r?|x|2?|y|2?x2?y2?0)，那么：sin??yxy，cos??，tan??， rrx2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tanα的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果sinA?，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式： （板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）商数关系：tan??sin? （2）平方关系：sin2??con2??1 con?35说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24??cos24??1等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的。 ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

第23课时 同角三角函数基本关系以及诱导公式

知识要点：

1.同角三角函数基本关系： （1）基本关系：

2①平方关系: sin2?＋cos2?＝1 1?tan??1 2cos?sin?cos??

②商数关系: tan?＝（?≠k?＋，k∈Z）；cot?＝（?≠k?，k∈Z）．

2cos?sin?③倒数关系: tan??1cot?（??1k?） 2（2）常用变换形式:

（1）根据这三大关系，若已知一个角?的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值．

（2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。 2.诱导公式： （1）基本关系 ??（一）（二）（三） （四） （五）?? （六）?? 2k??? ?? ??? ??? 22正弦 余弦 正切 sin? ?sin? ?sin? sin? cos? sin? cos? ?sin? cos? tan? ?cos? tan? cos? ?tan? ?cos? ?tan? / / （2）记忆及运用方法： ①六组诱导公式统一为“

k?，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ??(k?Z)”

2②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正??

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

一、学习目标：

1. 理解正弦、余弦的诱导公式二、三、四的推导过程；

2. 掌握公式二、三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简；

3. 了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。使用说明：

二．复习引入： 1.复习：

(1)利用单位圆表示任意角?的正弦值和余弦值：P(x,y)为角?的终边与单位圆

的交点，则 sin??y，cos??x；

(2)由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．

sin(??2k?)?sin?即有cos(??2k?)?cos?(k?Z),(k?Z),(k?Z), (公式一）tan(??2k?)?tan?2．引入：

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？ 三、新课探究：

如果角?的终边与角?的终边关于x轴对称，那么?与?的三角函数值之间有什么关系？

设角?，?的终边分别与单位圆交于点P，P，则点P和点P关于x轴对称（如图）．又根据三角函数的定义，点P的坐标是(co?s,s?in，点P的坐标是(cos?,sin?)．故有sin???sin?,cos??cos?． 由同角三角函数关系得tan??特

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。

§4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式

命题探究

解答过程

(1)由题设得acsin B=,即acsin B=.

由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.

(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.

所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.

由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.

故△ABC的周长为3+

考纲解读

分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x

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课 题：44同角三角函数的基本关系式（一）

教学目的：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：同角三角函数的基本关系 教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．

课 题：44同角三角函数的基本关系式（二）

教学目的：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义； 2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：同角三角函数的基本关系 教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

同角三角函数的基本关系公式:

sin?cos??tan? ?cot? cos?sin???cos??1 tan??cot??1 csc??sin??1 sec222sin2??cos2??1 sec??tan??1 csc??co2t??1

1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如：

sin?222?tan sin3??cos3??1