初二因式分解经典题
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初二数学因式分解知识点经典总结
整式乘除与因式分解
概述
定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。 意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则 1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=-x(3x-1))
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项
初二奥数辅导-因式分解
初二奥数辅导 因式分解(二)
1.双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)] =(x+2y-3)(2x-11y+1).
上述因式分解的过程,实施了O次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:
它表示的是下面三个关系式: (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2; (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3; (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3. 这就是所谓的双十字相乘法.
初二数学《因式分解》练习题
初二数学
因式分解
精读定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式。理解因式分解的要点:
1是对多项式进行因式分解;2每个因式必须是整式;3结果是积的形式;4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。
1.分解因式技巧掌握:
①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式 ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
例1、下列各式的变形中,是否是因式分解,为什么?(5个式子均不是) 9??(1)x2?y2?1??x?y??x?y??1; (5) x2y?6xy?9y?xy?x?6??.
x???a2??x?(2)?x?2??x?1??x2?x?2; (6) (4)?x?y???y?x y?1?a2;
232(3)6xy?3xy?2xy; 分解因式的方法:
??1. 提公因式法——形如ma?mb?mc?m(a?b?c) 2. 运用公式法——平方差公式:a2?b2?(a?b)(a?b),
完全平方公式:a2?2ab?b2?(a?b)2
a2?b2
(已改)因式分解难题经典题
八年级上学期数学因式分解期末复习题
1、若实数满足2、已知
,则
,则
.
的值为
3、分解因式: a3+a2-a-1=______________.
4、已知a+b=2,则a2-b2+4b的值 .
5、因式分解:6、已知实数7、若8、9、如果
满足,则,则
,则
的平方根等于 .
的值是_______________. ___________。
是一个完全平方式,则= .
10、 已知实数x 满足x+=3,则x2+的值为_________.
11、若a2+ma+36是一个完全平方式,则m= . 12、已知
,则
.
13、 -a4÷(-a)= ; 15、把下列各式分解因式:
18、如果
,求的值.
19、已知a+b=﹣5,ab=7,求a2b+ab2﹣a﹣b的值.
20、(x﹣1)(x﹣3)﹣8.
22、
23、(1)已知am=2,an=3,求①am+n的值; ②a3m﹣2n的值 (2)已知(a+b)2=17,(a﹣b)2=13,求a2+b2与ab的值. 24、先化简,再求值:已知:a2+b2+2a一4b+5=0求:3a2+4b-3的值。
因式分解的经典题(共五套)
第二部分:习题大全
经典一:
一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
32分解因式: m-4m= .
223.分解因式: x-4y= __ _____.
2 x 4x 4=___________ ______。 4、分解因式:
5.将x-yn分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y),则n的值为 . n22
2222x y 5,xy 6xy xy2x 2y6、若,则=_________,=__________。
二、选择题
7、多项式15mn 5mn 20mn的公因式是( )
A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( ) 222232223
a 3 a 3 a2 9a2 b2 a b a b A、 B、
3 m2 2m 3 m m 2 a 4a 5 a a 4 5m C、 D、2
10.下列多项式能分解因式的是( )
22222(A)x-y (B)x+1 (C)x+y+
因式分解--提高题
周末练习
班级 姓名
2223
1.若△ABC三边分别是a,b,c,且满足(b-c)(a+b)=bc-c, 试判断△ABC的形状.
变式训练:
2.已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,试判定△ABC的形状.
4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数” (1)36和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k-2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
5.如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正方形,公共边只用一根火柴棍.如果搭建正三角形和正方形共用了176根火柴棍,并且正三角形的个数比正方形的个数多12个,求搭建正三角形和正方形的个数分别是多少?
变式训练
(已改)因式分解难题经典题
八年级上学期数学因式分解期末复习题
1、若实数满足2、已知
,则
,则
.
的值为
3、分解因式: a3+a2-a-1=______________.
4、已知a+b=2,则a2-b2+4b的值 .
5、因式分解:6、已知实数7、若8、9、如果
满足,则,则
,则
的平方根等于 .
的值是_______________. ___________。
是一个完全平方式,则= .
10、 已知实数x 满足x+=3,则x2+的值为_________.
11、若a2+ma+36是一个完全平方式,则m= . 12、已知
,则
.
13、 -a4÷(-a)= ; 15、把下列各式分解因式:
18、如果
,求的值.
19、已知a+b=﹣5,ab=7,求a2b+ab2﹣a﹣b的值.
20、(x﹣1)(x﹣3)﹣8.
22、
23、(1)已知am=2,an=3,求①am+n的值; ②a3m﹣2n的值 (2)已知(a+b)2=17,(a﹣b)2=13,求a2+b2与ab的值. 24、先化简,再求值:已知:a2+b2+2a一4b+5=0求:3a2+4b-3的值。
专题二:因式分解
弘瑞教育培训学校 陈老师 初二年级春季班
专题二:因式分解 金牌数学专题系列
第一部分:知识要点
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,学习时,应注意以下几点: 1. 因式分解的对象是多项式;
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式;
6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7. 因式分解的一般步骤是:
(1) 通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法; 8. 因式分解常用方法 (1)提公因式法;(2)应用公式法(3)十字相乘法(4)分组分解法
因式分解竞赛题
1.分解因式(a+b+c)5-a5-b5-c5
2.分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
3.分解因式x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)-(x3+y3+z3)-2xyz
4.分解因式
(1)(x+y)(y+z)(z+x)+xyz
(2)(x+y+z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3-(x+y-z)3
(3)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
(4)(y-z)5+(z-x)5+(x-y)5
5.求证:2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式
6.把多项式4x4-4x3+5x2-2x+1写成一个多项式的完全平方式
7.分解因式x4+x3+x2+2
8.若a是自然数,且a4-4a3+15a2-30a+27的值是一个质数,求这个质数
9.分解因式x4-x3+4x2+3x+5
10.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4
11.求证:有无穷多个正整数a,使得数z=n4+a对于任何正整数n均为合数
12.分解因式
(1)x4+x3-3x2-4x-4
(2)x4+y4+(x+y)4
(3)x3(a+1)-
001因式分解
高一数学学案 序号 001 学生
第1课 因式分解
一、基本知识点回顾
1、把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 例:下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( A、xy2(x?1)?x2y2?xy2
)
B、x2?9?(x?3)(x?3)
D、ax?bx?c?x(a?b)?c
C、x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2
2、我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
例:①5x2?x2y的公因式为 ;②9x3y2?12x2y2?6xy3的公因式为
3、分解因式的平方差公式: 分解因式的完全平方公式: 注意:
1、 因式分解的方法:提取公因式法;公式法
2、 提取公因式法因式分解的思路:一看系数(数字)找它们的最大公约数,二看字母找它们相同