分数阶扩散方程

分数阶微积分及分数阶方程初步研究

[摘要]分数阶微积分及分数阶方程是当今国内外研究的最热的研究课题，理论及相关问题的研究还处在初级阶段。本文旨在通过引入分数阶导数及其相关问题，初步介绍和研究了分数阶微积分的若干性质。本文分别给出分数阶导数常见的四种定义：Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义、Weyl分数阶导数定义，讨论了其联系与区别。在整数阶微积分的基础上进一步延伸了Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶的运算法则、基本性质。最后简要介绍了线性分数阶微分方程初值问题解的唯一存在性。

[关键词] 分数阶导数；分数阶方程；Grünwald-Letniko分数阶导数；Riemann-Liouville分数阶导数；Caputo分数阶导数.

Preliminary studies of fractional calculus and fractional equation

[Abstract]Fractional Calculus and Fractional equations are the hottest research topic in tod

分数阶微分方程

第三讲 分数阶微分方程基本理论

一、 分数阶微分方程的出现背景及研究现状

1、出现背景

分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。

整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：

（1） 需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假

设条件；

（2） 因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型； （3） 这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。 基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。

2、研究现状

在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进

行，似乎它只对数学家们有用。

分数阶PID

第24卷第5期2007年10月

文章编号：1000 8152(2007)05 0771 06

控制理论与应用

ControlTheory&Applications

Vol.24No.5Oct.2007

分数阶系统的分数阶PID控制器设计

薛定宇,赵春娜

(东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004)

摘要:对于一些复杂的实际系统,用分数阶微积分方程建模要比整数阶模型更简洁准确.分数阶微积分也为描述动态过程提供了一个很好的工具.对于分数阶模型需要提出相应的分数阶控制器来提高控制效果.本文针对分数阶受控对象,提出了一种分数阶PID控制器的设计方法.并用具体实例演示了对于分数阶系统模型,采用分数阶控制器比采用古典的PID控制器取得更好的效果.

关键词:分数阶微积分;分数阶系统;分数阶控制器中图分类号:TP273文献标识码:A

FractionalorderPIDcontrollerdesignforfractionalordersystem

XUEDing-y¨u,ZHAOChun-na

(InstituteofArti cialIntelligenceandRobotics,SchoolofInformationScienceandE

分数阶非线性系统论文：稳定性PI~α控制器双参数Mittag-Leffler函数估值定理分数阶超混沌Chen系统分数阶统一混沌系统

【提示】本文仅提供摘要、关键词、篇名、目录等题录内容。为中国学术资源库知识代理，不涉版权。作者如有疑义，请联系版权单位或学校。

【摘要】分数阶非线性系统理论对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重要的作用，它不仅拓展了经典的整数阶系统理论，而且作为数学工具能够更好地描述大自然中的研究对象。而稳定性是保证系统良好运行的关键问题，因此研究分数阶非线性系统的稳定性问题具有十分重要的理论和实际意义。本文首先对I. Podlubny提出的双参数Mittag-Leffler函数估值定理中的限制条件进行了分析，通过证明得出了该定理部分条件约束范围过宽的结论，因此对双参数Mittag-Leffler函数进行重新定义并推导出改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理。然后提出了一个可适用于一类分数阶非线性系统的稳定性理论，并利用改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理和Gronwall定理进行了证明。其次针对分数阶超混沌Chen系统模型设计了PI~α控制器，将同步误差的比例和积分同时加入控制器中，以实现混沌系

分数方程与分数应用题

类型一：两边可以直接计算 213151x?x?2 x?? x?6?2 537663

随题练习 2132112x?x? ??x 5x?20? 7443223

类型二：两边不可以直接计算

11321x??2 1?x? x?3?6

63732

随题练习 21121112x??x ?x? 3x?? 34332323

典型例题

例：1、某乡去年原计划种小麦200公顷，实际种小麦250公顷。 （1）实际种小麦的公顷数是原计划的几分之几？ （2）实际种小麦的公顷数比原计划的多几分之几？

同类型题

8比5多几分之几？5比8少几分之几？

cc? 类型②求一个数a的是多少？ → a×

bb典型例题

1 例： 一块长方形菜地，长18米，宽比长短，这块菜地的面积是多少平方

6米？

同类型题

1 六（1）班有女生20人，男生比女生多，六（1）

分数阶非线性系统论文：稳定性PI~α控制器双参数Mittag-Leffler函数估值定理分数阶超混沌Chen系统分数阶统一混沌系统

【提示】本文仅提供摘要、关键词、篇名、目录等题录内容。为中国学术资源库知识代理，不涉版权。作者如有疑义，请联系版权单位或学校。

【摘要】分数阶非线性系统理论对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重要的作用，它不仅拓展了经典的整数阶系统理论，而且作为数学工具能够更好地描述大自然中的研究对象。而稳定性是保证系统良好运行的关键问题，因此研究分数阶非线性系统的稳定性问题具有十分重要的理论和实际意义。本文首先对I. Podlubny提出的双参数Mittag-Leffler函数估值定理中的限制条件进行了分析，通过证明得出了该定理部分条件约束范围过宽的结论，因此对双参数Mittag-Leffler函数进行重新定义并推导出改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理。然后提出了一个可适用于一类分数阶非线性系统的稳定性理论，并利用改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理和Gronwall定理进行了证明。其次针对分数阶超混沌Chen系统模型设计了PI~α控制器，将同步误差的比例和积分同时加入控制器中，以实现混沌系

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、

递归方程解的渐近阶的求法

递归算法在最坏情况下的时间复杂性渐近阶的分析，都转化为求相应的一个递归方程的解的渐近阶。因此，求递归方程的解的渐近阶是对递归算法进行分析的关键步骤。

递归方程的形式多种多样，求其解的渐近阶的方法也多种多样。这里只介绍比较实用的五种方法。

1. 代入法 这个方法的基本步骤是先推测递归方程的显式解，然后用数学归纳法证明这

一推测的正确性。那么，显式解的渐近阶即为所求。

2. 迭代法 这个方法的基本步骤是通过反复迭代，将递归方程的右端变换成一个级数，

然后求级数的和，再估计和的渐近阶；或者，不求级数的和而直接估计级数的渐近阶，从而达到对递归方程解的渐近阶的估计。

3. 套用公式法 这个方法针对形如：T (n)=aT (n / b)+f (n) 的递归方程，给出三种情况

下方程解的渐近阶的三个相应估计公式供套用。

4. 差分方程法 有些递归方程可以看成一个差分方程，因而可以用解差分方程(初值问

题)的方法来解递归方程。然后对得到的解作渐近阶的估计。 5. 母函数法 这是一个有广泛适用性的方法。它不仅可以用来求解线性常系数高阶齐次

和非齐次的递归方程，而且可以用来求解线性变系数高阶齐次和非齐次的递归方程，甚至可以用来求解

分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｉｇ＠ｉｒｓａ．ａｃ．ｃｎｗｅｂｓ．ｔｅ：ｗｗＷｌｃ豇ｇ．ｃｎ

１Ｉｅ｜：０１０—６４８０７９９５

中国图象图形学报

ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＩＭＡＧＥＡＮＤＧＲＡＰＨＩＣＳ

◎中国图象图形学报版权所有

中图法分类号：ＴＰ７５１．１论文引用格式：Ｔｉａｎ

文献标识码：Ａ

文章编号：１００６—８９６１（２０１４）０６－０８５２一０７

ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ

ｏｆＩｍａｇｅａｎｄＧｒａｐｈ—

Ｄ，ｘｕｅＤＹ，ＹａｎｇＹＪ．Ｆｍｃｔｉｏｎａｌ．０ｒｄｅｒｐｒｉｍａｌ—ｄｕａｌｍｏｄｅｌａｎｄｎｕｍｅｒｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒ

ｉｃｓ，２０１４，１９（６）：８５２—８５８．［田丹，薛定宇，杨雅婕．分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法［Ｊ］．中国图象图形学报，２叭４，１９（６）：８５２—８５８．］［ＤＯＩ：１０．１１８３４／ｊ皓２０１４０６０５］

分数阶原始对偶去噪模型及其数值算法

田丹１’２，薛定宇１，杨雅婕２

１．东北大学信息科学与工程学院，沈阳１１０００４；２．沈阳大学信息工程学院，沈阳１１００４４

摘要：目的结合分数阶微积分理论和对偶理论，提出了一种与分数阶ＲＯＦ去噪模型等价的分数阶原始对偶模型。从理论上分析

外文文献

研究乌设计

电子测量技术

ＥＬＥＣＴＲ（）ＮＩＣ

第３３卷第５期２０１０年５月

ＭＥＡＳＵＲＥＭＥＮＴ

ＴＥＣＨＮＯＩ，０ＧＹ

分数阶Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统及其电路仿真

崔

力

欧青主

徐兰霞

湘潭４１１２０１）

（湖南科技大学信息与电气工程学院

擒耍：在Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统的基础上提出了分数阶超混沌系统．通过数值仿真、研究了系统的基本动力学特性，分析了在不同参数条件下的吸引子相图。设计了硬件电路并运用ＥＷＢ软件对该电路进行仿真，电路仿真说明分数阶电路是可以实现的。

关键词：分数阶；超混沌；ＥＷＢ中图分类号：ＴＮ９２

文献标识码：Ａ

ＦｒａｃｔｉｏｎａｌｏｆｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃＬｏｒｅｎｚｓｙｓｔｅｍａｎｄｃｉｒｃｕｉｔｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ

ＣｕｉＬｉ

（Ｈｕｎａｎ

Ｏｕ

Ｑｉｎｇｌｉ

ＸｕＬａｎｘｉａ

ａｎｄ

ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ

Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉａｎｇｔａｎ

４１１２０１）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｆｒａｃｔｉｏｎａｌ－ｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄ

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Ｌｏｒｅｎｚｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｅｓｙｓｔｅｍｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｂａｓｉｃ