指数函数图像的应用

指数函数、对数函数图像交点问题

反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。

一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x对称；若原函数与直线y=x有交点，则反函数图像也必与y=x相交且交点重合。

为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子 （1）函数y(1,1)，且在y=x?2x?1与它的反函数y?12x?12图像只有一个交点

上。

1（2）函数

y?x3与它的反函数

y?x3的图像有三个交点

(?1,?1)、(0,0)、(1,1)，且都在y=x上。

（3）函数y?1x的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数

图像有无数个交点，其中有两

《指数函数的图像与性质》教学设计

一、教学目标

1．知识与技能

掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法

通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图像与性质. 3．情感、态度、价值观

通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．

二、教学重难点

教学重点：指数函数的图像与性质

教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质.

三、教学方法：自主探究式 四、教学手段：多媒体教学 五、教学过程：

（一）创设情境 1、复习：

（1）指数函数的定义； （2）指数函数解析式的特征。

2、导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 （二）自主探究

?1?1．画一画：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数y?2x、y???的图像

?2? -2 -1 xx0 1 2 ?1?2．说一说：通过图像，分析y?2x、y???的性质；

?2?函数 定义域 值域 单调性 特殊点 y的分布情况 当x?0时， 当x?0时， 当x?0时，

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之

4.2.1 指数函数及其图像与性质

【教学目标】 1.知识与技能目标：

使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标：

在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思 维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观：

让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。

【教学重、难点】

教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点：指数函数性质的归纳与运用。

【教学方法】

我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。

【教学过程】 1.流程 （1）教学流程：

创设情境 激发兴趣引出新知 形成概念深入探究 引导发现巩固提高 灵活运用归纳总结 新知梳理分层作业共同提高

指数与指数函数

要点梳理1. 根式的概念根式的概念

忆一忆知识要点

符号表示

备注

如果xn=a,那么 x 叫做 a 的n次方根. n为奇数时,正数的奇 次方根是正数;负数的奇次 方根是负数. n为偶数时,正数的偶 次方根有两个且互为相反 数.n

n>1,且 n∈N*.

a

零的n次方根是零

n a (a 0) 负数没有偶次方根

要点梳理2. 两个重要公式

忆一忆知识要点

公式 (1) ( a ) a.n n

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.公式 (2)n

a , n 2k 1, k N , a = | a |, n 2k , k N .

n

要点梳理3. 幂的有关概念 幂指数 正整数 指数

忆一忆知识要点

a a a a n

定义

条件

零指数 负整数 指数 正分数 指数 负分数 指数

a 10

n个a

n N ,a R

a 0n N ,a 0 m

a 1n a n

aa m n

m n

n

an

a>0,m,n N*,n>1a>0,m,n N*,n>1

1 m an

1 am

规定: 0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂没有

第五讲 指数运算和指数函数

一、知识点

1.根式的性质

nan?

2.幂的有关概念

(1)正整数指数幂：an?a??a??a.............a(n?N?) ?????n?p(2)零指数幂a?1(a?0) (3)负整数指数幂 a?01(a?0.p?N?) pa(4)正分数指数幂 amn?nam(a?0,m,n?N?,且n?1)

mn(5)负分数指数幂 a??1amn(a?0,m,n?N?,且n?1)

(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)a?a?arrrsr?s,(a?0,r,s?Q) (2)(ar)s?ars,(a?0,r,s?Q)

s (3)(ab)?a?a,(a?0,b?0,r?Q)

4．指数函数定义：函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质

xy?ax 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 性 质 值域 定点 单调性 对称性 y?ax和y?a?x关于 对称

1．函数y?(x?5)0?(x?2)

?12

（ ）

A．{x|x?5,x?2}

§2.4 指数与指数函数

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．下列等式3

6a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x 的图象，则( )

A ．f (x )＝2x ＋

2＋2

B ．f (x )＝2x ＋

2－2

C ．f (x )＝2x －2＋2

D ．f (x )＝2x －

2－2

3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )

4.函数f (x )＝a x

－b

的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的 是

( )

A ．a >1，b <0

B ．a >1，b >0

C ．00

D ．0

5．设232

555

322(),(),()555

a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )

A ．a >c >b

B ．a >b >c

C ．c >a >b

D ．b >c >a

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①

一．指数函数

1.y=a^x：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 函数总是通过（0，1）这点。

（6） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

二．对数与对数函数

（一）对数： 1.零和负数没有对数 2.三个对数恒等式

3.三个运算法则:(在a>0，a≠1的前提下)

1

(1) (2) (3)

4.两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下： (1) (2)

练习：1.解出下列的x 2.求下列函数的定义域：

(2)log3(x-1)=log9(x+5).

3.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求4.求值:(1)

（二）对数函数的性质及应用

。 (2)

2

练习：

1. 若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小。

(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

2. 求函数y=

3.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为

学号：0907410028

本科毕业论文（设计）

( 2013届)

指数函数的多项式展开及其应用

院 系 数学系 专 业 数学与应用数学 姓 名 许月 指导教师 齐继兵 职 称 讲师 等 级

合肥师范学院2013届本科生毕业论文（设计）

摘 要

指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方

指数函数教材分析 一

指数函数是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一，指数函数是高中所研究的第一种函数，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础。指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此要重点研究。 基本 初等 函数 对数函数 幂函数 函数的性质 三角函数 函数的图像 指数函数 函数的概念 一次、二次函数

二、教材内部知识结构分析

1、知识点：

指数函数概念：一般地，函数y?ax（a?0,a?1,x?R）叫做指数函数

（书中有一类特殊的指数函数，限制函数，只做了解不需要掌握）

1指数函数图像：y?2,y? 利用描点法作图

2xx指数函数性质：

①定义域是实数集②函数图像在

R，对任意实数x,都有y?0，即值域是?0,??

x轴的上方且都通过点?0,1?

③当a?1时，这个函数是增函数；当0?a?1时，这个函数是增函数

2.内部知识结构： 定义 引例 一般地，函数y?ax（a?0,a?1,x?R）叫做指