逆流对数平均温差公式

对数平均温羞会等于最近,

吗

有卜关换热器设计的问题弓起了一番讨论管壳式操热器的温度参数如图所示抉热器两端的温差‘△和△工是相同时

一台逆流式

△

一之一

。

一一。

’

二’

“

△

“

在计算这个换热器的对数平均温差时乙班

,

找们会碰到这样的情况一

,

因为

刀

对数平均温差和一

二

△

。

乞。

△

论

戎们把数值代入二

刀’

一

在。

犷

二

份,

。,尹

人们可能从上述士中得出的第一个结论是勺根本无急义牌可能由于存在着温度交变或者某些衰减情况因此使得换热器的温度议计无法进行不足式足理,,

这两种假设都是不切实的

,

如果我们记住极限数学。。

,

二工七二五七、还有更重要的址。那么换热器的设计则是可能的、有时我们的直觉就是依据换热器的温度推动力应当作为一价近

似渐近值工全兰全竺鱼二,

实际上既然两个△值是相等的就应该是准确的温度推动力从刀这二习现在的问题是个常用设计方程对我们是否不筵编,

,

—一工

二

’

。

呢不

如果我们把对数平均温差毛主班毛巡七

写成极限式一一一

,

便可得到

二

今

组

七

,。一

二

令

华丝。、

用代入会得戴不定式今勺或是无穷或是有限值或是不定的、、

这并不怠味此式叼极限是

运用一些数学定理

,

我们就明

白它的汾式是未定的。,

。。。七定理用简洁的话叔还就是如采刁个函数的极护限值是印勺或今‘把它作为渐近某个数值的变量分别处

课 题：2.1 对数的换底公式及其推论

教学目的：

1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：对数的运算法则

如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：

loga(MN)?logaM?logaN(1)Mloga?logaM?logaN(2)

NlogaMn?nlogaM(n?R)(3)二、新授内容：

1.对数换底公式：

logaN?logmN ( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0) logma证明：设 loga N = x , 则 a = N x 两边取以m 为底的对数：logmax?logmN?xlogma?logmN 从而得：x?logmNlogmN ∴ logaN? logmalogma2.两个常用的推论:

①logab?logba?1， logab?logbc?logca?1 ② logamb?nnlogab（ a, b

课 题：2.1 对数的换底公式及其推论

教学目的：

1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：对数的运算法则

如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：

loga(MN)?logaM?logaN(1)Mloga?logaM?logaN(2)

NlogaMn?nlogaM(n?R)(3)二、新授内容：

1.对数换底公式：

logaN?logmN ( a > 0 ,a ? 1 ，m > 0 ,m ? 1,N>0) logma证明：设 loga N = x , 则 a = N x 两边取以m 为底的对数：logmax?logmN?xlogma?logmN 从而得：x?logmNlogmN ∴ logaN? logmalogma2.两个常用的推论:

①logab?logba?1， logab?logbc?logca?1 ② logamb?nnlogab（ a, b

三角公式、对数公式、数学公式

倍角公式

Sin2A=2SinA CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

一、平均速度公式的巧用均速度公式v平＝（v0＋v）/2x=v t

1、一辆汽车在4s内做匀加速直线运动，初速为2m/s，末速为10m/s，在这段时间内

（1）汽车的加速度为多少？

（2）汽车的位移为多少？

（3）汽车的平均速度为多少？

2、从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50m。则汽车的最大速度为多少？

3．一辆车以10m/s的速度匀速行驶，在距车站25m时开始制动，使车匀减速前进，到车站时恰好停下．求：车从制动到停下来经历的时间．

4、汽车从静止起做匀加速运动，速度达到v时立即做匀减速运动，最后停止，全部时间为t，则汽车通过的全部位移为多少？

二、v－t图象的物理意义及应用

1．某质点沿一直线运动，其v－t图象如图所示，则下列说法中正确的是()

A．第1s内和第2s内质点的速度方向相反

B．第1s内和第4s内质点的速度方向相同

C．第1s内质点向前运动，第2s内质点向后运动，2s末质点回到出发点

D．第一个2s内质点向前运动，第二个2s内质点向后运动，4s末质点回到出发点

2、甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度?时间图象如图所示，则下列说法中正确

指数函数和对数函数·换底公式·例题

例1-6-38 log34·log48为

[ ]

·

log8m=log416

，

则

m

解 B 由已知有

[ ]

A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得

故选A．

[ ]

http://www.77cn.com.cn/

故选A．

[ ]

A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，

2)

2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

http://www.77cn.com.cn/

[ ]

A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞

n

例1-6-43 (1)若logac+logbc=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．

但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．

例1-6-44 函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是___

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

lna?lnb2ln

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

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证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

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平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

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先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

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证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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