直角三角形的边角关系总结

九年级数学教案讲例

八升九暑假讲义------直角三角形的边角关系

§ 1.1 从梯子的倾斜程度谈起 学习目标：

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解锐角三角函数的意义

2.能够用sinA、cosA tanA表示直角三角形中两边的比，

3.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 知识讲解：

[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?

[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?

通过本章的学习，相信大家一定能够解决. 讲授新课

梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题

(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

九年级数

这是一份分节讲解,然后综合复习的一份讲义,各节都配有例题和针对练习,最后有一份本章复习卷

直角三角形的边角关系讲义

第1节 从梯子的倾斜程度谈起

本节内容：

正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）

1、正切的定义

例2 如图， 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。 B C

创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼

A

1

这是一份分节讲解,然后综合复习的一份讲义,各节都配有例题和针对练习,最后有一份本章复习卷

2、坡度的定义及表示（难点

例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）． 求加高后的坝底HD的长为多少？

例4

在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。

2 创造适合每一个孩子的教育

望子成龙学校九（上）数学专用资料 锲而不舍，方能水滴石穿！

第六讲 直角三角形的边角关系

【基础知识精讲】

一、正弦与余弦，正切：

1、 在?ABC中，?C为直角，

锐角A的对边与斜边的比叫做?A的正弦，记作sinA，

sinA? 锐角A的邻边与斜边的比叫做?A的余弦，记作cosA. ?A的对边a??

斜边ccosA??A的邻边b? 斜边c 锐角?A的对边与邻边的比叫做?A的正切，记作tanA。 tanA??A的对边a= ?A的邻边b2、当?A为锐角时， 0?sinA?1，0?cosA?1，tan??0。 二、特殊角的正弦值与余弦值： 角度a 0° 30° 45° 60° 90° 函数

sina

cosa tan?

三、增减性：当0???90时， sin?、tan?随角度?的增大而增大；cos?、cot?随角度?的增大而减小。

四、互余两角之间的函数关系： 00sinA?cos(90??A)

2cosA?sin(90??A) tanA?(90??A)

2五、同角三角函

青岛班课程

直角三角形的边角关系的应用（二）

学习目标：

1.认识仰角、俯角，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.

2.体会解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，并通过作辅助线的方法转化成直角三角形来解。

学习重点：

体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.

学习难点：

发展学生数学应用意识和解决问题的能力。

学习过程：

一、复习回顾

1、如右图：在Rt△ABC中，说出∠A、∠B的三角函数值

2、说出30°、45°、60°的三角函数值

3、测得某坡面垂直高度为2m, 坡面为4m,则坡度为_______，坡角

为______。

二、新课讲解

1、定义：仰角：

俯角：

右图：一人站在旗杆前，那么他看旗杆顶的仰角是__________

他看旗杆底的俯角是__________

2、例题：如图，A、 B两座楼相距30米，某同学在A楼家中观测B楼测得B楼的顶部仰角为45°，B楼的底部的俯角为30°，你能求出B楼的高吗？

练习： 1、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为30°，测得乙楼

底的俯角为45°，两楼相距60米。

求两楼高度

2、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为60°，测得乙楼底的俯角为45

第一部分 单元知识复习

第五章 三角形的边角关系第2讲 直角三角形边角关系的应用

考点梳理一、考试要求： 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单 实际问题.二、广东省省卷近五年中考统计：考试 内容 解直角 三角形 的应用 2009 第15 题 6分 2010 2011 第17 题 7分 2012 第18 题 7分 2013 题型

解答

考点梳理三、知识梳理1.若直角三角形ABC中，∠C=90°,那么∠A、 ∠B、∠C、a、b、c中除∠C=90°外，其余5个元素 之间有如下关系： 2 2 2 a b c ; (1)勾股定理：____________ (2)两锐角的关系： ____________ A B 90 ; (3)边角关系 (即三个三角函数): A的邻边 b A的对边 a CosA = SinA = 斜边 c __________________ ;__________________ ; 斜边 c A的对边 b tan A = __________________ .所以，只要知道其中的 A的邻边 c 边 2 个元素 (至少有一个是______) ______ ,就可以求出 3 其余_

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全

直角三角形相似的判定AA′c

b∟

B

a

C

B′

C′

一、复习提问1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三答：

角形相似的方法？

(1)两角对应相等的两个三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3)三边对应成比例的两个三角形相似。

2、判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。

课堂练习填空：(填相似或不相似)

1、一个三角形有两个角分别是60°和35°, 另一个三角形的两个角分别是60°和85°, 那么这两个三角形 。 相似2、一个三角形的三边分别是3、4、5,另 一个三角形的三边分别是6、8、10,那么 这两个三角形 相似 。

3、一个三角形的两边分别是3和7, 它们的夹角是35°,另一个三角形的 一个角是35°,夹这个角的两边分别 是14和6,那么这两个三角形相似 。

例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=900, ∴ ΔACD∽ΔABC(两角对应相等，两 三角形

年级段 课题

八年级

学科

数学

主备人 课时 1

14.1.1 直角三角形三边的关系(1)

直角三角形角的关系及边的关系 课前准备 教 掌握勾股定理，已知直角三角形的两边会求第三边 学 目 标

预习反馈： 1、 直角三角形两直角边的 方。 2、对于任意的直角三角形，如果它的直角边分别为 a、b,斜边为 c,那么 一定有 c= 探索新知： 一、动手操作，观察图形，并总结出规律！ 条件：每个小正方形的边长是 1 厘米教

增删、点评

等于斜边的平

, 此公式可演变为 a= 。

, b=

,

探索：正方形 P 的面积= 正方形 Q 的面积=

平方厘米 平方厘米 平方厘米

学

正方形 R 的面积= 二、由上概括可得

由此：可得直角三角形三边的关系是：过 A0

条件：在 Rt ABC 中， C 90 ,三边为 a 、 b 、 c程

结果： 勾股定理： 小试牛刀： 1、求下列直角三角形未知边的长. (如图所示)

b

c

C

a

B

2、在 Rt ABC 中， C 90 ,两边为 a 6 , b 10 ,求 c.(画图添数，0

找三边的关系)

例题讲解：例 1、如图，将长为 5.41 米的梯子 AC 斜靠在墙上，

增删、点评

BC 长为 2.61 米，求梯子顶端 A 到墙底的距离 AB 。 (

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全