高中数学对称性常见的结论

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

对称性与周期性

函数对称性、周期性的判断

1. 函数y f(x)有f(a x) f(b x)（若等式两端的两自变量相加为常数，如

(a x) (b x) a b），则f(x)的图像关于x

a b

轴对称；当a b时，若2

f(a x) f(a x) (或f(x) f(2a x))，则f(x)关于x a轴对称；

2. 函数y f(x)有f(x a) f(x b)（若等式两端的两自变量相减为常数，如

(x a) (x b) a b），则f(x)是周期函数，其周期T a b；当a b时，若f(x a) f(x a)，则f(x)是周期函数，其周期T 2a；

3. 函数y f(x)的图像关于点P(a,b)对称 f(x) f(2a x) 2b (或f(x)=2b f(2a x))；函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 f(x)= f(2a x) (或 f(a x)= f(a x))； 4. 奇函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数，且T 2a是函数的一个周期；偶函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数，且T 4a是函数的一个周期； 5. 奇函数y f(x)的图像关于直

高中数学关于对称方面的一些知识和应用

对称性与周期性

函数对称性、周期性的判断

1. 函数y f(x)有f(a x) f(b x)（若等式两端的两自变量相加为常数，如

(a x) (b x) a b），则f(x)的图像关于x

a b

轴对称；当a b时，若2

f(a x) f(a x) (或f(x) f(2a x))，则f(x)关于x a轴对称；

2. 函数y f(x)有f(x a) f(x b)（若等式两端的两自变量相减为常数，如

(x a) (x b) a b），则f(x)是周期函数，其周期T a b；当a b时，若f(x a) f(x a)，则f(x)是周期函数，其周期T 2a；

3. 函数y f(x)的图像关于点P(a,b)对称 f(x) f(2a x) 2b (或f(x)=2b f(2a x))；函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 f(x)= f(2a x) (或 f(a x)= f(a x))； 4. 奇函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数，且T 2a是函数的一个周期；偶函数y f(x)的图像关于点P(a,0)对称 y f(x)是周期函数，且T 4a是函数的一个周期； 5. 奇函数y f(x)的图像关于直

高考复习之函数专题

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义注意：○

3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 的实数的集合；○

2函数定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义

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数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

集合元素的互异性：如：

A?{x,xy,lg(xy)}，B{0,|x|,y}，求A；

（2）集合与元素的关系用符号?，?表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、

实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

注意：区分集合中元素的形式：如：A?{x|y?x2?2x?1}；B?{y|y?x2?2x?1}；

C?{(x,y)|y?x2?2x?1}；

D?{x|x?x2?2x?1}；

E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

yF?{(x,y')|y?x2?2x?1}；G?{z|y?x2?2x?1,z?}

x（5）空集是指不含任何元素的集合。（{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为

A?B，在讨

第 1 页 共 10 页 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A

B C A C B C A B C A C B ==.

2U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?=

3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个

4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;

③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

三次函数的解析式的三种形式①一般式32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠

②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠

5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?

[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --

()()0

高中数学

常用公式及结论 王新敞

高中数学常用公式及结论

1. 元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.??A?A?? 2.德摩根公式 :CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB. 3.包含关系：

A?B?A?B?A?A?B?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R

4.元素个数关系：

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B) card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2?1个；非空子集有2?1个；非空的真子集有2?2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);

(2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式） (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为

nnnn(x1,0),(x2,0)时，

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

对称问题专题

【知识要点】

1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.

设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）. 2.点关于直线成轴对称问题

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：

设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有

y??y0·k=－1，

x??x0可求出x′、y′.

x??x0y??y0=k·+b，

22特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.

3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：

（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0. （2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7.

xxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

ababxxyyx2y2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.

ababx2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面

ab?积为S?F1PF2?b2tan.

2x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

8.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F

的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

高中数学常用公式及常用结论

§01. 集合与简易逻辑

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.容斥原理

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

nnnnN?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

M?NM?Nf(x)?N|??0 ?|f(x)??22M?f(x)11?