柯西不等式的证明及其应用开题报告

kexi budengshi

柯西不等式的证明及其应用

赵增林

（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西

不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式

定理：如果a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为两组实数，则

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) （*）

当且仅当a1b2 a2b1 a1b3 a3b1 …… a1bn anb1 0时等号成立。 若b1 0,b2 0,……,bn 0，则不等式的等号成立的条件是

aa1a2

…… n。 b1b2bn

我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明：

一）两个实数的柯西不等式的证明：

22

对于实数a1,a2,b1,b2，恒有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)，当且仅当

a1b2 a2b1 0时等号成立。如果b1 0,b2 0则等式成立的条件是证明：对于任意实数a1,a2,

柯西不等式的证明及应用

（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： O178

Identification and application of Cauchy inequality

Chen Bo

（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）

Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle rele

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

i?1?i?1?2n2由

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

i?1?i?1?2n2由

浅谈柯西不等式的应用及推广

【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表

4、为结合学科竞赛；

5、模拟仿真；

6、其它

题目来源――A.指导教师出题；B.学生自定、自拟

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）任务书

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）开题报告

开题报告内容：（调研资料的准备与总结，研究目的、要求、思路与预期成果；任务完成的阶段内容及时间安排；完成毕业设计（论文、创作）所具备的条件因素等。

一研究内容：主要研究导数在不等式证明中的一些应用，其次研究导数的一些性质和证明不等式的一些方法；

二研究目的：不等式证明是数学学习中的重要内容之一，其常用的方法有：比较法, 分析法，综合法，归纳法，特殊不等式法。导数作为微积分学的主要内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。

三研究方法：1.参考大量的相关文献及相关论文，通过中国知识网，中国学术期刊网等收集所需资料

2. 借助学过的专业知识，尤其是数学分析方面的知识和理论，微积分理论，深入分析题目，提出提纲，确定论文思路。

3. 整理导数在不等式证明中各种应用，并归纳总结。

4. 对各种应用进行比对，分析，并进行深入研究

四预期成果及形式：通过导数在不等式证明中的各种应用进行深入分析研

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分

不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Holder不等式 Gronwall不等式

Young不等式

..

1 引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如?e?xdx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计

012算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在?0,1?上连续可微，且f(1)?f(0)?1，求?f'2(x)dx），因此我们希

01望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

?21xlnxdx??21xlnxdx，

??baf(x)coskxdx????2baf(x)sinkxdx?

中图分类号： O122.3

本 科 生 毕 业 论 文 （申请学士学位）

论文题目 柯西-西瓦兹不等式的推广与应用 作者姓名 所学专业名称 数学与应用数学 指导教师

2010年 4月30日

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学 号：5060352023 论文答辩日期： 2010 年 6月 5日

指 导 教 师： （签字）

滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明

本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名： 2010年5月30日

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柯西-西瓦兹不等式的推广与应用

摘要：柯西-西瓦兹不等式在许多领