导数的计算教案

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考点10 变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1.（2012·陕西高考理科·Ｔ7）设函数f(x)?xex，则（ ） (A) x?1为f(x)的极大值点 (B) x?1为f(x)的极小值点 (C) x??1为f(x)的极大值点 (D) x??1为f(x)的极小值点

【解题指南】先根据导数的乘法法则求导，然后由导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.

xxxxf(x)?xe?ex(x?1)()x?(xe)?e?xe【解析】选D.∵，∴f?，令f?(x)?0，则x??1，

当x??1时，

f?(x)?0；当x??1时，f?(x)?0，所以x??1为f(x)的极小值点.

二、填空题

2.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ13）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________

【解题指南】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式。

x?4【解析】y??3l

3.1.1-2变化率问题与导数的概念

（1）三维目标

1、知识与技能：

①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。

2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。

（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。 （4）教学建议：

1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。

2、对于导数定义：在定义f?x0?=lim'f(x0??x)?f(x0)?f给出后，可以?lim?x?0?x?x?0?x?x?0给出定义的几种变化形式：f'?x?=lim?y?lim?x?0?xf(x0)?f(x0??x)；以及

?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y'?li

3.1.1-2变化率问题与导数的概念

（1）三维目标

1、知识与技能：

①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。

2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。

（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。 （4）教学建议：

1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。

2、对于导数定义：在定义f?x0?=lim'f(x0??x)?f(x0)?f给出后，可以?lim?x?0?x?x?0?x?x?0给出定义的几种变化形式：f'?x?=lim?y?lim?x?0?xf(x0)?f(x0??x)；以及

?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y'?li

3.1.1-2变化率问题与导数的概念

（1）三维目标

1、知识与技能：

①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。

2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。

（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。 （4）教学建议：

1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。

2、对于导数定义：在定义f?x0?=lim'f(x0??x)?f(x0)?f给出后，可以?lim?x?0?x?x?0?x?x?0给出定义的几种变化形式：f'?x?=lim?y?lim?x?0?xf(x0)?f(x0??x)；以及

?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y'?li

3.2.1几个常用函数的导数教案

教学目标：

1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2. 利用公式解决简单的问题。

教学重点和难点

1．重点：推导几个常用函数的导数；

2．难点：推导几个常用函数的导数。

教学方法：

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。

教学过程：

一 复习

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤。

二 新课

例1．推导下列函数的导数

f(x) c yf(x x) f(x)c c 0， 解： x x x

yf'(x) lim lim0 0 x 0 x x 0（1）

1. 求f(x) x的导数。 yf(x x) f(x)x x x 1， x x x

y' lim1 1。 f(x) lim x 0 x x 0解：

y' 1表示函数y x图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的函数，则y 1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y x，y 2x，y 3x，y 4x的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数y kx(k 0)增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，

课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的：

1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂

函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.

2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：

会使用导数公式求函数的导数

教学难点：

会使用导数公式求函数的导数

教学过程：

一、讲解新课：

1、基本初等函数的导数公式

1.若f(x) c,则f (x) 0;

2.若f(x) xn(n Q*),则f (x) xn 1;

3.若f(x) sinx,则f (x) cosx;

4.若f(x) cosx,则f (x) sinx;

5.若f(x) ax,则f (x) axlnx;

6.若f(x) e,则f(x) e;

7.若f(x) logax,则f(x)

18.若f(x) lnx,则f (x) .x

2、讲解例题 P83 例1 xx 1;xlna

练习1、求下列函数的导数。

(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x

3、导数运算法则

1. f(x) g(x)

复习课: 导数及其应用

教学目标

重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．

难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.

知识点：（1）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念（2）熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系. 理解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）.会求一些实际问题的最大值和最小值. 能力点：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力． 教育点：求极值和最值的步骤，需要具体练习和掌握. 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心.

自主探究点：函数导数等于零的点一定是极值点吗？

考试点：1.导数的概念、四则运算、常用函数的导数的考查2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值. 易错易混点：使导函数等于零的点当成了是极值点，没有进一步的检验，在选择题、和填空题中经常出错. 拓展点：不等式恒成立和方程根的个数问题.

学法与教具

学法：1.采用“学案导学”方式进行教学2.讨论法、启发式、自主学习、

极限和导数

相关知识

1.导数的有关概念。 (1)定义：

函数y=f(x)的导数f(x)，就是当?x?0时，函数的增量?y与自变量的增量?x的比极限，即f(x)?lim//

?y的?x?yf(x??x)?f(x)?lim。

?x?0?x?x?0?x(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。 (3)几何意义：

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。 2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：

C=0（C为常数）； (x)=mx(m∈Q); (sinx)=cosx; (cosx)= -sinx ; (e)=e; (a)=alna

x/

x

x/

x//

m/

m-1

/

(lnx)/?1; x1(logax)/?logae.

x(2)两个函数的四则运算的导数：

(u?v)/?u/?v/;(uv)/?u/v?uv/;/

u/v?uv/?u?(v?0).???2v?v?(3)复合函数的导数：y3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。

当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f(x)>0，则f(x)为增函数；如果f(x)<0，则f(x)为减函数。

用心 爱心 专心

- 1 -

/

/

/x?y/u?u/x

(2)极大值和

导数 的概念

教学要求：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导

数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念并会运用概念求导数，导数的几何意义的运用。 教学难点：导数的几何意义的理解 教学过程：

一、复习准备：

1、 提问：利用导数的定义求导步骤？（学生回答）

2、 提问：f (x0)表示函数在x0的瞬时变化率，导数f (x0)的几何意义是什么？ 二、讲授新课： 1. 教学：

1、当点pn(xn,yn)(n 1,2,3,4 )沿着曲线向点P接近时，割线ppn的变化趋势是什么？ 割线ppn的斜率与切线PT的斜线K有什么关系？

得：k f (x0) lim

f(x x) f(x0)

x

x 0

此时，割线ppn的斜率kPP

n

y x

无限趋近于

切线PT的斜率k，也就是说，当 x趋向于0时，割线的ppn斜率kPP

n

y x

的极限为k.

小结：函数y f(x)在点x0的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点p(x0,y0)处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点p(x0,y0)处的切线斜率是f (x0)，切线的方程为

y y0 f (x0)(x x0)

二、例题分析

例1：.求函数y x2 1在－1,0，1处导数。

分析：先求导，然

高等数学

三、计算题（共 200 小题，）

1、设2、设

f(x)?e3x，试直接利用导数定义求f?(x)。 f(x)?x3?2x，试用导数定义求f?(x)。

1，试用导数定义求f?(1).。 x3、设　f(x)?4、设5、设6、设

f(x)?2x，试直接利用导数定义求f?(x)。

f(x)?ex，试利用导数定义求f?(x)。 f(x)?ln1?5x，试利用导数定义求f?(x)。 f(x)在x?1处可导且f?(1)?2，求极限lim2f(1?x)?f(1?x)。

x?0xf(a?h)?f(a?2hx)8、设f(x)在x?a处可导且f?(a)?b，求极限lim。

x?0hf(1?2t)?f(1)9、设f(x)在x?1处可导，且f?(1)?2，求极限lim。

x?0sin3t7、设10、

f(xtanx?ex2)已知　f(x)在x?1可导，且f(1)?0，f?(1)?3，试求lim

x?0sin2x11、

1??f(x)在x0处可导，且f?(x0)?a，求极限limn?f(x0?)?f(x0)?．

n???2n?12、

设　f(x)在x?x0处可导，求极限limx?x0xf(x0)?x0f(x)．

x?x013、

已知　f?(x0)??5，求limx