法向量的求解

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数学通讯一——2 O 1 1年第 7、 8期 (上半月)

辅教导学

法向量截面法求解二面角史 嘉(安徽省毫州市第一中学， 2 3 6 8 0 0 )

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通

法，它大大降低了传统解法中“一作二证三计算” 的解题技巧，节省了思维，尤其是用法向量求解二面角，不论二面角的开口方向、大小如何，不管两半平面的“形状”怎样，无论二面角有棱没棱，更是“所向披靡” . 教学实践和高考阅卷表明，使用向量法求出两半平面法向量夹角的余弦值后，将遇到的一个

问题却一直困扰着不少考生，那就是判断两法向量的夹角与该二面角的平面角到底是相等还是互补.比如， 2 0 1 0年安徽省理科数学立体几何解答题的第 ( 1 l I )问是求二面角的大小，在阅卷过程中笔者作了粗略地统计，超过八成的考生选择坐标向 量法求解，其中近四成的考生计算出了其余弦值， 最后，只因判断错了其平面角的大小而没能得满分，着实可惜 . 贵刊的文 I - 1 - 1介绍一法：在二面角的棱上任取一

\/

/法向量截面围~

图 1

面角 0— 7 c一< m, n>,下图中一< m, n> .此判断过

程和截面图可在草稿纸上完成，熟练后甚至可以 不画出，答题时以“经

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数学通讯一——2 O 1 1年第 7、 8期 (上半月)

辅教导学

法向量截面法求解二面角史 嘉(安徽省毫州市第一中学， 2 3 6 8 0 0 )

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通

法，它大大降低了传统解法中“一作二证三计算” 的解题技巧，节省了思维，尤其是用法向量求解二面角，不论二面角的开口方向、大小如何，不管两半平面的“形状”怎样，无论二面角有棱没棱，更是“所向披靡” . 教学实践和高考阅卷表明，使用向量法求出两半平面法向量夹角的余弦值后，将遇到的一个

问题却一直困扰着不少考生，那就是判断两法向量的夹角与该二面角的平面角到底是相等还是互补.比如， 2 0 1 0年安徽省理科数学立体几何解答题的第 ( 1 l I )问是求二面角的大小，在阅卷过程中笔者作了粗略地统计，超过八成的考生选择坐标向 量法求解，其中近四成的考生计算出了其余弦值， 最后，只因判断错了其平面角的大小而没能得满分，着实可惜 . 贵刊的文 I - 1 - 1介绍一法：在二面角的棱上任取一

\/

/法向量截面围~

图 1

面角 0— 7 c一< m, n>,下图中一< m, n> .此判断过

程和截面图可在草稿纸上完成，熟练后甚至可以 不画出，答题时以“经

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

函数

用赋值法求解函数关系

依据函数y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x)．

一、赋值代换

例1 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)不恒为零，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]．求证：f(x)是偶函数

分析：若有f(－x)=f(x)(x∈R)，则f(x)为偶函数． 观察条件f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]

令x1=0，x2=x则f(x)＋f(－x)=2[f(0)＋f(x)]*

令x2=0，则f(x1)＋f(x1)=2[f(x1)＋f(0)]

∴f(0)=0把f(0)=0代入(＊)有f(x)=f(－x)问题得证． 赋值代换应注意：(1)所赋自变量x之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值．

例2 设f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x∈(0，1)，f(x)＞0；

分析：∵x，y∈(0，1)，(1－x)，(1－y)∈(0，1)由题设知f(y)＞0，f(1－y)＞0，故有f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－

x)≤2f(y)f(1－y)，观察此不等式，如令x=1－y ∈(0，1)，则有： f2(x)－

毕 业 论 文

论文题目 向量法证明初等几何命题 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2011级 学 号 201124081124 学生姓名 陈平 指导教师 张峰 完成时间 2015 年 4 月

肇庆学院教务处制

向量法证明初等几何命题

陈平

摘 要 本文使用向量的数量积，向量积，混合积证明一些初等几何的命题．例如，勾股定理，余弦定理，海伦公式．

关键词 初等几何；数量积；向量积；混合积

1引言

向量这个名词对于大家来说并不陌生，在高中的教材中已经接触了不少向量的内容．在力学、物理学已及日常生活中，咱们常常遇到很多的量，譬如像温度、时间、质量、密度、功、长度、面积与体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量．其余又有一些比较复杂的量，比方像位移、力、速度、加速度等，他们不仅有大小，而且还有方

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分离变量法在求解波动方程中的应用

作者：王平心

来源：《科技视界》2014年第34期

【摘 要】分离变量法又称傅里叶级数法，它是求解数学物理方程定解问题的最常用和最基本的方法之一。该方法的基本思想是将偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。它能够求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域上混合问题和边值问题，都可以用分离变量法试着求解。本文将讨论分离变量法在求解波动方程中的应用。 【关键词】分离变量法;波动方程;求解 0 引言

自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：

我们称它为波动方程，因为它描述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。△中，变量的个数表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，一般都是三维的。但是为

棋盘覆盖问题

问题描述：

在一个2k×2k（k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格

为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中出现的位置有4k中情形，因而有4k中不同的棋盘，图（a）所示是k=2时16种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题要求用图（b）所示的4中不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且热河亮哥L型骨牌不得重复覆盖。 图（b）

图 （a） 问题分析：

K>0时，可将2k×2k的棋盘划分为4个2k-1×2k-1的子棋盘。这样划分后，由于原棋盘只

有一个特殊方格，所以，这4个子棋盘中只有1个子棋盘中有特殊方格，其余3个子棋盘中没有特殊方格。为了将这3个没有特殊方格的子棋盘转化成为特殊棋盘，以便采用递归方法求解，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小的棋盘的会合处，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。 问题求解：

下面介绍棋盘覆盖问题中数据结构的设计。

（1） 棋盘：可以用一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中size=2k。为了

在递归处理的过程中使用同一个棋

难点3 运用向量法解题

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. ●难点磁场

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线

AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.

●案例探究 ［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：C1C⊥BD. (2)当

CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.

技巧与方法：利用a⊥b?a·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可. (1)证明：设CD=a, CB=b,

高二数学学案 教案编写： 审核人： 高二数学组 使用时间： 编号：1

3.2.立体几何中的向量方法（坐标法） 【学习目标】熟练掌握解决立体几何问题的坐标方法； 【学习重点】坐标法解决立体几何问题的三个步骤； 【学习难点】立体几何问题到向量坐标问题的转化； 【学习过程】 1、 直线的方向向量： 。 2、平面的法向量： 。 3、 例题2：如图二面角中α---L---β中AC、BD都与L垂直AC=a BD=b CD=c AB=d 求二面角α---L---β的余弦值 F'βB C αDlA例题讲解 D'例题1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此