求椭圆离心率的八种方法

离心率的五种求法

椭圆的离心率0 e 1，双曲线的离心率e 1，抛物线的离心率e 1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e

c

来解决。 a

x2

例1：已知双曲线2 y2 1（a 0）的一条准线与抛物线y2 6x的准线重合，则该双曲线的离心

a

率为（ ）

32 B. C. D.

2223

3a2c2 132

解：抛物线y 6x的准线是x ，即双曲线的右准线x ，则2c2 3c 2 0，

2cc2

A.

解得c 2，a

，e

c2，故选D

a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0 、F2 3,0 ，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324

解：由F1 1,0 、F2 3,0 知 2c 3 1，∴c 1，又∵椭圆过原点，∴a c 1，a c 3，∴a 2，

c1

c 1，所以离心率e .故选C.

a2

A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

36

B.

水深火热的演练

一、直接求出a，c或求出a与b的比值，以求解e。

ccc2a2?b2b2在椭圆中，e?，e????1?2 22aaaaa31.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于

23.若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则椭圆的离心率为

1 21。 24.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为

x2y225.若椭圆2?2?1,(a?b?0)短轴端点为P满足PF，则椭圆的离心率为。 ?PFe?122ab12x2y236..已知??1(m?0.n?0)则当mn取得最小值时，椭圆2?2?1的的离心率为

mnmn28.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e?2。 2x2y29.P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，已知?PF1F2??,?PF2F1?2?, ?F1PF2?3?,F1、F2是椭圆的左右焦点，

ab椭圆的离心率为e?3?1

??10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若?PF， 则椭圆的F?15,?PFF?751221离心率为

6 31x2y21

椭圆、双曲线的离心率问题

丁益祥特级工作室 张留杰

教学目标

1．复习巩固椭圆、双曲线的第二定义、离心率的定义及求离心率的基本方法；

2．从数和形两方面分析椭圆、双曲线的离心率与基本量a、b、c之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力；强化数形结合思想、方程思想在解题中的应用；

3．通过对各区一模部分试题的分析，培养同学们良好的发散思维品质，增强学习解析几何的兴趣和信心，感受几何图形的美；

4．通过试题变式的训练，提高学生的解题能力，增强研究高考试题的意识，帮助学生树立“通过现象看问题的本质”这一辨证唯物主义观点． 教学重点 离心率的求法 教学难点

快捷地寻找出椭圆、双曲线的基本量之间的相等与不等关系，进而准确地求出离心率或其范围是本节的难点．

教学方法 讲授与启发相结合 教学过程

x2y2

一．回忆：（朝阳0804）已知双曲线C1:2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、

abF2，抛物线C2的顶点在原点，准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的

交点P满足PF2 F1F2，则双曲线C1的离心率为 （ ） A

B

C

．

3

D

．a24a22

x； 解：由已知可得抛物线的准线为直

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

1?a) 解 因为(1?a)(1?a)...(122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

?0,从而lim(1?a)

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

离心率的五种求法

椭圆的离心率0?e?1，双曲线的离心率e?1，抛物线的离心率e?1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e?c来解决。 ax2例1：已知双曲线2?y2?1（a?0）的一条准线与抛物线y2??6x的准线重合，则该双曲线的离心

a率为（ ）

33623 B. C. D.

22233a2c2?132解：抛物线y??6x的准线是x?，即双曲线的右准线x???，则2c2?3c?2?0，

2cc2A.

解得c?2，a?3，e?c23，故选D ?a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1?1,0?、F2?3,0?，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324解：由F1?1,0?、F2?3,0?知 2c?3?1，∴c?1，又∵椭圆过原点，∴a?c?1，a?c?3，∴a?2，

c1c?1，所以离心率e??.故选C.

a2A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（

椭圆离心率的解法

椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。

一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，｜PF｜

P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=

｜PD｜②e=

｜QF｜｜AO｜｜AF｜

③e=④e=

｜BF｜｜BO｜｜BA｜｜FO｜

｜AO｜

⑤e=

D P Q A B F O

评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

a2

∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。（看上去没有

c关联，实际用代入法则易发现规律）

x2 y2

题目1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，

a b 若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？

A B F1 F2

思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内（即利用三角形把已知条件转化为a与c的关系，用c表示a），构造

音箱摆位八种方法

刘汉盛编著 摘自《发烧音响》2003.3 原著:《音响AV圣经》

喇叭摆位。在音响诸事中，喇叭摆位占好声要占多少份量?假若您要这样问我，我的回答是

：要让音响好声，空间条件、器材的搭配、喇叭摆位以及用家微调等四大项缺—不可。其 中，喇叭摆位是不需要花钱但又可以让音响好声方法，所以我愿意说喇叭摆位不是占二成

五的重要性，而是占五成的重要性。假若您不信，请仔细的把各种喇叭摆位方式试过，我

想届时您的想法就会改变了。

在告诉您如何实施『摆位八法』之前，我还要先向读者们揭橥一个重要的观念，那就是『

喇叭与聆听空间是一体的』,声音的各种表现都是在喇叭与聆听空间二者的互动中产生。或

者，我更要说，空间、喇叭摆位与聆听位置的选择是三者互动的，无论您的空间条件是如

何的恶劣，如果能够找到三者互动的最佳平衡点，就能够让音响发出好声。 此处『喇叭摆位八法』中，我把原来的『上柜法』去除，以『耳机摆法』取代，因此还是 保持八法。

第一法：三一七比例法

方法：将房间长度均分为三等分,(三)，喇叭摆在三分之一长度处(一)，二喇叭之间的间隔

为房间三分之二长度的0．7倍(七) 。喇叭最好要有略微的向内投射角度，不过没有向内投

射亦可，聆听位置不可贴

工程结算审计的八种方法

一、看图法。

即看图核实工程量与工程价款，审定工程造价的一种方法）基建工程决算审计，首先必须认真仔细地看清所有的施工图纸，才能全面准确无误地计算审定工程造价的真实性。要求审计人员必须熟练掌握所有的建筑识图知识，不仅要看建筑施工图，而且要看结构施工图和竣工图；不仅要看水电平面图，而且要看水电系统图；不仅要将每一张图纸看懂吃透，而且要将所有的图纸综合分析。只有在认真看懂吃透图纸的基础上，才能发现问题、揭露问题。看图法是基建工程决算审计最基本、最普遍、最常用的方法，它贯穿基建工程决算审计的始终。

二、观察法。

它是指审计人员亲临建筑现场，对审计事项进行实地观察，调查了解建设项目的实际情况，发现疑点，验证事实，核实实际工程量，审定工程造价的一种方法。

三、询问法。

它是指审计人员通过询问被审计单位参与基建项目管理的负责人、当事人、知情人或施工单位施工员、预算员、知情者，以证实基建工程量与工程价款的真实性、合理性的一种方法。审计人员通过询问获得的

审计线索有可能引出有力的审计证据，揭露事实的真相。所以询问法也是基建工程决算审计最直接、最常用的一种有效的方法。

四、调查法。

它是指审计人员深入实际进行调查研究，以查证基建工程量与工程价款的真实性、合