2008年全国高中数学竞赛试题

1 2008年全国高中数学联赛试题及答案

一 试

一、选择题（每小题6分，共36分）

1．函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ）。

（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)

3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比

对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23

，乙在每局中获胜的概率为13

，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。 （A ）24181 （B ）26681 （C ）27481

（D ） 670243

4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3

2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)

第 一 试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角?使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则?的弧度数为（ ） A.

2? 6 B.

?12or5? 12C.

?6or5? 12 D.

? 122、已知M?{(x,y)|x2?2y2?3},N?{(x,y)|y?mx?b}。若对所有

m?R,均有M?N??，则b的取值范围是（ ）

A. ????66?,? 22?B. ?????66?, ??22?C. (?2323,] 33D. ???2323?,? 3??33、不等式log2x?1?A. [2,3)

1log1x3?2?0的解集为（ ） 22

C. [2,4)

D. (2,4]

B. (2,3]

?????????????4、设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC的面积

的比为（ ） A. 2

B.

3 2 C. 3 D.

5 35、设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ） A. 45个 B.

高中数学联赛

2003年全国高中数学联赛

第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）

1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003

项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

2． 设a, b R, ab≠0，那么，直线 ax y+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

(A) (B) (C) (D)

3． 过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60 的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，

弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 16168

(B) (C) (D)83

333

2 5

4． 若x [ , ]，则y= tan(x+) tan(x+)+cos(x+)的最大值是

312366

(A)

(A)

12111211

2 (B)2 (C)3 (D) 5656

94

+的最小值是 2

4 x29 y

5． 已知x,y都在区间( 2,2)内，且xy＝ 1，则函数u=

(A)

8121224

(B) (C) (D)

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2005年全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

一、选择题

1．二次函数y ax2 b与一次函数y ax b(a b)在同一个直角坐标系的图像为（ ）

y

y

O

y

y

O

O

C

AB

2．已知数列 an 满足a1 a,a2 b,an 2 an 1 an(n N*)。Sn是 an 的前n项的和， 则a2004 S2004等于

A．a b

（ ）

B．a b C． a b D． a b

（ ）

3．在(2

A．3

2n 1

x)2n 1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为

1；

B．3

2n 1

； C．

12n 11

3； D．(32n 1 1) 22

4．在1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1 a2,a3 a2, a3 a4,a5 a4的排列个数是

A．10；

（ ）

B．12； C．14； D．16.

5．直线y mx 3与抛物线C1:y x2 5mx 4m,C2:y x2 (2m 1)x

m2 3,C3:y x2 3mx 2m 3中至少有一条相交,则m的取值范围是 （

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2014年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．已知集合P={1,|a|}，Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P∪Q}={6}，则下面结论正确的是（ D ）

A．a=3,b=1

B．a=3,b=-1

C．a=-3,b=1 D．a=-3,b=-1

2．已知复数z1, z2，且|z1|=2,|z2|=2，|z1+z2|=7，则|z1-z2|的值为（ D ）

A．5

B．7 C．3

D．3 3．已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角，命题P：∠A =∠B；命题Q：sin∠A =sin∠B，则﹁P是﹁Q 的（ C ）

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

20144．已知等比数列{an}：a1=5,a4=625，则

1=（ A ） ?k?1log5aklog5ak?1

C．

A．

2014 2015 B．

2013 2014

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）

一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为

◆答案： 2

1- ★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-

=-=-f f f

2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []

13,1+- ★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]

3,3-∈x ，21cos 2

x y -=， 所以()1121cos 2--=

-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]

13,1+-。 2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110

92

2=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆

2008年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1. 如果实数m，n，x，y满足m2?n2?a，x2?y2?b，其中a，b为常数，那么mx+ny 的最大值为 答：[B]

A.

a?b2 B.

ab C.

a?b222 D.

a?b222

解 由柯西不等式(mx?ny)2?(m2?n2)(x2?y2)?ab；或三角换元即可得到

mx?ny?ab，当m?n?a2，x?y?b2时，mx?ny?ab. 选B.

?11??24?2. 设y?f(x)为指数函数y?ax. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N?,?四点中，函数 y?f(x)与其反函数y?f?1(x)的图像的公共点只可能是点 答：[D]

A. P B. Q C. M D. N

11 解 取a?116，把坐标代入检验，??11?1?4?1?2公共点只可能是 ??

2008年全国高中数学联合竞赛加试试

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形ABCD， B D 180 ，P是平面上的动点，令

f(P) PA BC PD CA PC AB．

（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆； （Ⅱ）设E是 ABC外接圆O的 AB上一点，满足

：

12

ECA，又DA,DC是

O的切线，AC

AEAB

2

，

BCEC

1，

ECB

f(P)的最小值．

[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有

PA BC PC AB PB AC． 因此 f(P) PA BC PC AB PD CA

PB CA PD C A(PB PD) CA．

因为上面不等式当且仅当P,A,B,C顺次共圆时取等号，因此当

AC上时， 且仅当P在 ABC的外接圆且在

f(P) (PB PD) CA． …10分

答一图

1

又因PB PD

2008年全国高中数学联合竞赛加试试

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、（本题满分50分）

如题一图，给定凸四边形ABCD， B D 180 ，P是平面上的动点，令

f(P) PA BC PD CA PC AB．

（Ⅰ）求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆； （Ⅱ）设E是 ABC外接圆O的 AB上一点，满足

：

12

ECA，又DA,DC是

O的切线，AC

AEAB

2

，

BCEC

1，

ECB

f(P)的最小值．

[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有

PA BC PC AB PB AC． 因此 f(P) PA BC PC AB PD CA

PB CA PD C A(PB PD) CA．

因为上面不等式当且仅当P,A,B,C顺次共圆时取等号，因此当

AC上时， 且仅当P在 ABC的外接圆且在

f(P) (PB PD) CA． …10分

答一图

1

又因PB PD

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列{}n a

中，2a =

，3a =1201172017

a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .

3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .

4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .

5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .

7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线222

0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .

8.若正整数,,a b c 满足201710100