容斥原理是几年级学的

容斥原理

知识框架图 7-7-1两量重叠问题 7-7-2三量重叠问题 7 计数综合 7-7 容斥原理 7-7-3图形中的重叠问题 7-7-4容斥原理在数论问题中的应用 7-7-5容斥原理中的最值问题

教学目标

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“

”读

作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A表示小圆部分，

B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积．

1．先包含——A?B 重叠部分A B计算了2次，多加了1次； A?B?AB7-7.容斥原理.题库

教师姓名 学生姓名 学科 年级 数学 四年级 让我们一起为了孩子的进步而努力！ 纳思书院Nice Education 上课时间 2016年 月 日 --- 课题名称 专题八：容斥问题 教学目标 1、了解容斥原理；2、会求两个量和三个量的容斥问题 教学重点 容斥问题 教学过程 专题八：容斥问题 一、两量重叠问题 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）， Na Nab Nb 那么具有性质a的事物的个数 = Na； 具有性质b的事物的个数 = Nb； 具有性质a或性质b的事物的个数 = Na + Nb－Nab。 具有性质a不具有性质b的事物的个数 = Na－Nab； 具有性质b不具有性质a的事物的个数 = Nb－Nab； 例题学习 【例1】一个旅行社，每人至少会一种外语，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两种都会的有4人，旅行社总共有多少人？ 第1页 / 共7页

第四专题 容斥原理

教学时数：4学时 教学目标：

（1）理解组合数学三大原理之一的容斥原理；

（2）了解运用容斥原理处理的常见问题； （3）灵活使用容斥原理解决问题。 教学重点与难点：

如何将问题转化成可利用容斥原理解决的问题。 一、基础知识

（一）容斥原理及逐步淘汰原理 容斥原理：（1）（简单形式）

对任何有限集合A、B、C，有A?B?A?B?A?B；

（2）（一般形式）

对任何n个有限集合A1,A2,?,An，有

A1?A2???An??Ai?i?1n1?i?j?n?A?Aij?1?i?j?k?n?A?Aij?Ak

?????1? 简记：|n?1A1?A2???An

?A|??ii?1nI?{1,2,?,n}I??(?1)|I|?1|?Ai|

i?I逐步淘汰原理：（1）（简单形式）A?B?S?A?B

（2）（一般形式）A1?A2???An?S?A1?A2???An

（二）容斥原理的两种证明方法

证法一：（数学归纳法）

当n?2 时，要证明：|A1?A2|?|A1|?|A2|?|A1?A2|

这可由A1?A2等于不相交的两个集合A1和A2\\(A1?A2)的并推出，

维数定理与容斥原理

两个有限维子空间的和的维数定理：

dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2) 两个有限集合元素个数的容斥原理：

card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2)

子空间的和类比于集合的并，那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合？

可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用：选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后，设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2，那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。

那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢？考虑三个子空间的情形，类比于三个集合的容斥原理

card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3) 是否也有类似的三个子空间和的维数定理

dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3

容斥问题（四年级）

1、植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有23棵不是五年级种的，有21棵不是六年级种的，五、六年级植的树共有8棵，其他年级种的树有多少棵？

2、在100名学生中，有78人语文测试得优秀，85人数学测试得优秀，最少有多少人语文、数学测试都得优秀？

3、某班有学生44人，书法爱好者有30人，体育爱好者有25人，每人至少有这其中的一种爱好，这个班有多少人既爱好书法又爱好体育？

4、北京大学某班会说英语的有30人，会说法语的有25人，既会说英语又会说法语的有13人，全班学生至少会说一种外语，全班有多少学生？

5、在200名学生中，参加书法兴趣小组的有110人，参加围棋兴趣小组的有50人，其中两个小组都参加的有30人，那么，两个小组都不参加的有多少人？

6、在1至1000的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个？

7、某班有68人，参加足球兴趣小组的有32人，参加排球兴趣小组的有30人，如果两个兴趣小组都没有参加的有25人，那么同时参加足球、排球两个兴趣小组的有多少人？

8、某班学生排队，全班排成5行，每行的人数相等地，小星排的位置是：从前面数第8个

培蒙国际教育——花垣县启智珠心算培训中心奥数教材

容斥原理 1

1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？

2、 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢

足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？

3、 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语

文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）

4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小

容斥原理下

(★★★)

在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？

(★★★)

在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几种。其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。请问：只爱喝苹果汁的有几人？

(★★★)

网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？

(★★★★)

网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了

文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？

(★★★★★)

网校共130名老师，其中70人参加了歌唱小组，80人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有60人，参加了三个小组的有30人，那么网校老师有多少人没有参加小组？

容斥原理下

(★★★)

在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。那么只喜欢唱歌的有多少人？

(★★★)

在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几种。其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。请问：只爱喝苹果汁的有几人？

(★★★)

网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？

(★★★★)

网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了

文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？

(★★★★★)

网校共130名老师，其中70人参加了歌唱小组，80人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有60人，参加了三个小组的有30人，那么网校老师有多少人没有参加小组？

牛吃草问题

1、8头牛和3只羊每天吃共吃草136千克；3头牛和8只羊每天共吃草106千克。问：每头牛和每只羊每天各吃多少千克？

2、有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长。这片牧场可供１５头牛吃２０天，或可供２０头牛吃１０天。那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃１天？

3、一片草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供１６头牛吃２０天，或供８０只羊吃１２天。如果一头牛一天吃的草量等于４只羊一天吃的草量，那么１０头牛和６０只羊一起吃，可以吃多少天？

4、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，现有的牧场上的草可供２０头牛吃５天，或可供１６头牛吃６天。那么，１１头牛可吃几天？

5、假设旅客在检票进站前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。若同时开4个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，20分钟后队伍消失。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟队伍就消失？

6、某幼儿园采购图书，第一次买了5包科技书和7包故事书共620本；第二次又买

同样的6包科技书和3包故事书420本。问：每包科技书比故事书少多少本？

7、牧场山过一片牧草，可供２４头牛吃６周，或者供１８头

第六讲 计数（二）

例题一

甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？

练习

大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？

例题二

把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．

练习

一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？

用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?

例题三

在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4级）

ABCD

练习

在右图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂

蚁最多有几种不同走法？（4级）

ACDB

在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4级）

ACDB

例题四

题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张