高中数学竞赛向量专题

高中数学竞赛专题讲座之 数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列 an 的通项公式an

A a1

B a2

2

，则 an 的最大项是（ B ） 2

n 4n 5

C a3 D a4

23

2．（2006安徽初赛）正数列满足a1 1,a2 10,anan 2 10an t n 3 ，则lg(a100) （ ）

A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2， ，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1

深圳第二实验学校高二数学竞赛专题讲义

高斯函数(1) [知识点金]

1. 有关概念

对于任意实数x,?x?为不超过x的最大整数,,y??x?称为取整函数或叫高斯函数,并将y??x??x??x?称为小数部分函数,表示x的小数部分.

2. 重要性质

(1) y??x?的定义域是R,值域为Z; (2) 如果x?R,n?Z,则有?n?x??n??x?; (3) 对任意x?R,有?x??x??x??1,x?1??x??x; (4) 当x?y时,有?x???y?,即y??x?是不减函数; (5) 对于x,y?R,有?x???y???x?y???x???y??1; (6) 如果n?N?,x?R,则?nx??n?x?; ?x???x??(7) 如果n?N,x?R,则?????.

nn?????3. 常用方法

(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法

[例题精析]

例1 求方程3

例2 解方程 8?3x??5?2x??3.

例3 求方程lgx??lgx??2?0的实数根的个数.

22x???10?3x?1???32x???10?3x?1??82??80的解的个数

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高中数学竞赛专题试题讲座——数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?

?A?a1

2n?4n?52，则?an?的最大项是（ B ）

?B?a2

?C?a3

?D?a4

32（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,an2an?2?10an n?3?，则lg(a100)? （ ）?t?A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足

高中数学竞赛专题讲座之 数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列?an?的通项公式an?

?A?a1

?B?a2

2，则?an?的最大项是（ B ） 2n?4n?5?C?a3 ?D?a4

232．（2006安徽初赛）正数列满足a1?1,a2?10,anan?2?10an?t?n?3?，则lg(a100)? （ ）

A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，?，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、?sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗

和”为2007，那么数列(1，p1，p2，?，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式

|Sn-n-6|<

1125

B．6

的

最

高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率

一． 排列组合二项式定理

1 (2005年浙江)设1?x?x2nn??n求a2?a4???a2n的值（ ） ?a0?a1x???a2nx2n，

3n?13n?1 （A）3 （B）3?2 （C） （D）

22【解】： 令x?0 得 a0?1；（1） 令x??1 得 a0?a1?a2?a3???a2n?1； （2）

n令x?1 得 a0?a1?a2?a3???a2n?3； （3）

（2）＋（3）得 2(a0?a2?a4???a2n)?3?1，故 a0?a2?a4???a2nn3n?1?，

2再由（1）得 a2?a4???a2n3n?1?。 ?选 【 C 】

22、（2004 全国）设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有 （ ）

A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 解：a，b，c要能构成三角形的

高中数学竞赛专题讲座——解析几何

一、选择题部分

x2y2?1上任一点P，1．(集训试题)过椭圆C：?作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ

32≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为

A．(0,（ ）

3] 3B．(33,] 32C．[3,1) 3D．(3,1) 2HP?1，所以由?PQ1??解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以

3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得Q点轨迹为??1，所以离心率?223???y1?ye=

3?2?223??1?23?[,1). 故选C. 233?2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D)

A．y??12x

2B．y?12x

22C．y??16x

2D．y?16x

23．（2006年江苏）已知抛物线y?2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这

样的点P共有（B）

A．0个 B．2个

C．4个 D．6个

高中数学竞赛专题讲座之二：数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列 an 的通项公式an

A．a1

B．a2

2n 4n 5

2

，则 an 的最大项是（B）

D．a4

C．a3

32．（2006安徽初赛）正数列满足a1 1,a2 10,an2an 2 10ann 3 ，则lg(a100) （ ） t A．98 B．99 C．100 D．101 3．（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2， ，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为 （A） A．2007 B．2008 C．2006 D．1004 4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等

式|Sn-n-6|<

A．5

1125

的最小整数n是

B．6

C．7

D．8

13

（ ）

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是

高中数学竞赛专题讲座——解析几何

一、选择题部分

x2y2

1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）1．(集训试题)过椭圆C：，延长PH到点Q，使|HQ|=λ32

|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为 （ ）

A．(0,

3

] 3

B．(

3,] 32

C．[

,1) 3

D．(

,1) 2

HP 1

，所以PQ1

解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以

3(1 ) x [x 3(1 )]2y2x 1由定比分点公式，可得： ，代入椭圆方程，得Q点轨迹为 1，所以离心率 2

23 y1 ye=

3 2 22

23

[,1). 故选C. 2

33

2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D)

A．y 12x

2

B．y 12x

2

2

C．y 16x

2

D．y 16x

2

3．（2006年江苏）已知抛物线y 2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则

这样的点P共有（B）

A．0个 B．2个

C．4个 D．6个

x2y24．（200 6天津）已知一条直线

高中数学竞赛专题讲座——解析几何

一、选择题部分

x2y2??1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）1．(集训试题)过椭圆C：，延长PH到点Q，使|HQ|=32λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为

A．(0,（ ）

3] 3B．(33,] 32C．[3,1) 3D．(3,1) 2HP?1，所以?PQ1??解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以

3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得Q点轨迹为??1，所以离心率?223???y1?ye=

3?2?223??1?23?[,1). 故选C. 233?2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D)

A．y??12x

2B．y?12x

22C．y??16x

2D．y?16x

23．（2006年江苏）已知抛物线y?2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，

则这样的点P共有（B）

A．0个 B．2个

C．4个 D．6个

高中数学竞赛专题讲座——解析几何

一、选择题部分

x2y2??1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）1．(集训试题)过椭圆C：，延长PH到点Q，使|HQ|=32λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为

A．(0,（ ）

3] 3B．(33,] 32C．[3,1) 3D．(3,1) 2HP?1，所以?PQ1??解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以

3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得Q点轨迹为??1，所以离心率?223???y1?ye=

3?2?223??1?23?[,1). 故选C. 233?2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝12上,则抛物线方程为(D)

A．y??12x

2B．y?12x

22C．y??16x

2D．y?16x

23．（2006年江苏）已知抛物线y?2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，

则这样的点P共有（B）

A．0个 B．2个

C．4个 D．6个