数列裂项相消法公式

裂项相消法

数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和

?c?方法称为裂项相消法。适用于类似?（其中?an?是各项不为零的等差数列，?aa?nn?1?c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的

裂项方法： （1）

11111?11?k?1，特别地当时， ??????n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?n?k?nk（2）?n?k?n，特别地当k?1时?1?n?1?n

n?1?n例1、数列?an?的通项公式为an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an ?1，求它的前n项和Sn

n(n?1)111????1?22?33?411 ??n?n1nn?????11??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

?1?针对训练、求数列1111

数列综合练习（一）

1．等比数列前n项和公式：

a?1－q?a1－anq??1＝ ?q≠1?

1－q(1)公式：Sn＝?1－q.

??na1 ?q＝1?

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

a12．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中

1－q

a1A＝.

q－1

3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：

111(1)＝－； n?n＋1?nn＋1

n

一、选择题

S51．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )

S2

A．11 B．5 C．－8 D．－11 答案 D

解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，

5

S5a1?1＋2?

∴q＝－2，则＝＝－11.

S2a1?1－22?

S102．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )

S5

A．－3 B．5 C．

数列中裂项相消的常见策略

化娟 （甘肃省临泽一中 734000）

裂项相消是数列中常见的求解策略，裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法，本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结，以供参考.

1 利用分式的通分进行裂项

通分在小学和初中阶段都是常见的内容，而裂项主要是逆用通分，把乘积式转化为2式的差.例如可以利用

1111?(?)进行裂项.

n(n?k)knn?k111?????＿ 1?21?2?31?2?3???n例1 求和1+

分析 因为

121??1??2???，

1?2?3???nn(n?2)nn?1??1111111?2n ??????????22334nn?1?n?1所以 原式=2?1?例2

??已知等差数列?an?满足： a3=7,a5+a7=26, ?an?的前n项和为Sn

（1） 求a4及Sn （2） 令bn?1?(n?N),求数列?bn?的前n项和为Tn. 2an?1分析 （1）略.

2(2)由an?2n?1，得an?1?4n(n?1),

从而 bn?1111?(?),

4n(n?1)4nn?111111111n(1???????)=(1?)=.

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-

求数列通项公式的常用方法

类型1、

an?1?an?f(n)型，（f(n)可求前n项和），

?a1?(a2?a1)????(an?an?1)求通项公式的方法称为累加法。

{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

利0用an例.已知

解：

an?an?1?2(n?1)0

an?1?an?2?2(n?2)

0

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

0

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

2a?n?n?1 n∴

变式1.已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

变式3. 已知数列{an}中, a1?1,an?3n?1?an-1(n?2)求数列?an?的通项公式.

1n(n?1)变式4. 已知数列

?a?满足an1?1，

an?1?an?，求

?an?的通项公式。

1

类型2、

an?1?f(n)?an型。

f(n)是常数时，可归为等比数列。

f(n)可求积，利用恒等式a?aa2a3???an(a?0,n?2)求通项公式的方法称为

n1na1a2

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

数列通项公式的求法

一、观察法（关键是找出各项与项数n的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， （2）1,2（10）a, b, a, b, a, b, a b 0

1

24916

,3,4, （3）1,510172

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2nn2

; （4）an ( 1)n 1 ; （3）an 答案：（1）an 10 1 （2）an n 2 n 1n 1n 1

n

n n 1

（5）an= 6）an=

2

1

n

8 1 an= 1 （8）an 6n 5 （7）n

9 10

n

1

2

n 1

1

9）an

1

n 1

1

2n

（10）an

1

n 1

1

2

1 1 a b

2

n(a1 an)n(a2 an 1)n(a3 an 2)n(n 1) na1 d 2222

二、公式法1、等差数列求和公式：Sn

(q 1) na1 n

2、等比数列求和公式：Sn a1(1 q)a1 anq

(q 1)

1 q 1 q

s1,n 1

3、 an

S S,n 2n 1 n

例2： 1. 等差数列 an 是递

观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结!

1 数列的通项公式

教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用

1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时.

教 法:讨论、讲练结合.

第一课时

一．常用方法与技巧：

（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数.

（2）运用好公式： 1

1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?

快速练习:

1.写出下面数列通项公式（记住）：

1,2,3,4,5,… =

n a ______________.

1,1,1,1,1,… =

n a ______________.

1,-1,1,-1,1,… =

n a ______________.

-1,1,-1,1,-1,… =

n a ______________

Just do it !

常见递推数列通项公式的求法

类型一：an?1?kan?b

（1）累加法：k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b)

例1：已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

解：an?an?1?2(n?1)

an?1?an?2?2(n?2)

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

∴ a2n?n?n?1

（2）待定系数法：k?1时，设an?1?m?k(an?m)

∴ an?1?kam?bn?km?m，比较系数：km?m?b，、∴

k?1，

∴

{an?bk?1}是等比数列，公比为k，首项为ab1?k?1

1 ∴

an?bk?1?(abbb1?k?1)?kn? ∴

an?(a1?k?1)?kn?1?k?1 例2：已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。

解：设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ an?1n?1?4?2

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

1 用不动点法求递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南

（安徽省岳西中学 246600）

1．通项的求法 为了求出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?=

+1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有c t k t n n +?=+1 （k ≠0）,

∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,

由kx+c=x ?x=

k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k

c t n

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2以

n?1，得

an?1an3an?1an3an????{}是，则，故数列n?1nn?1nn2222222a121?a323?1为首项，?1?(n?1)以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n，22n223212n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

an?1an3?n?，说明数列n?1222{anan3}?1?(n?1)是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2n2n2{an}的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?