数列求通项的常见类型

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，an与Sn的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1，得

a2 a1 f(1)方法：叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加，得an

例１．数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 1,an an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积，得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 2,an

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，an与Sn的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1，得

a2 a1 f(1)方法：叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加，得an

例１．数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 1,an an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积，得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 2,an

数列求通项

【教学目标】

一、知识目标

1、解决形如Sn?f(n)、 Sn?f(an)、 Sn?1?Sn.f( n、) Sn?1?Sn?f(n)、通项公式的确定。 an+1?pan?f(n)(其中p是常数） 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。 三、情感目标

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。 【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。 【教学难点】

1、 如何将an+1?pan?f(n)转化为我们熟悉的等差和等比数列。

2、 理解和掌握an+1?pan?f(n)此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。 【考点分析】

高考对数列的考察重点是等差、等比数列的定义，通项公式，以及前n项和的灵活运用。解答题中，大部分的数列题目都会要求先求出通项公式，因此掌握数列通项公式的求法是解决数列

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

1

类型二：an?1?an?思路1（递推

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

1

类型二：an?1?an?思路1（递推

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?1?1?p?思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

类型二：an?1?an?思路1（递推法）

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

一、an 1 an d型 （d为常数）

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an 1 an d，再由 等差数列的通项公式an a1 n 1 d可求得an.

例1 已知数列 an 中a1 2,an 1 an 3 n N ，求an的通项公式.

解：∵an 1 an 3 ∴an 1 an 3

∴ an 是以a1 2为首项，3为公差的等差数列. ∴an 2 n 1 3 3n 1为所求的通项公式.

二、an 1 an f(n)型

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，可用差分法. 例2 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 an n，求an的通项公式. 解：作差an 1 an n，则

a2-a1= -1，a3-a2= -2，a4-a3= -3， ，an an 1 (n 1)，

将上面n-1个等式相加得 an a1 ( 1) ( 2) ( 3)

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

一、an 1 an d型 （d为常数）

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an 1 an d，再由 等差数列的通项公式an a1 n 1 d可求得an.

例1 已知数列 an 中a1 2,an 1 an 3 n N ，求an的通项公式.

解：∵an 1 an 3 ∴an 1 an 3

∴ an 是以a1 2为首项，3为公差的等差数列. ∴an 2 n 1 3 3n 1为所求的通项公式.

二、an 1 an f(n)型

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，可用差分法. 例2 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 an n，求an的通项公式. 解：作差an 1 an n，则

a2-a1= -1，a3-a2= -2，a4-a3= -3， ，an an 1 (n 1)，

将上面n-1个等式相加得 an a1 ( 1) ( 2) ( 3)

高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》说课稿

邵东三中 王芙蓉

各位老师，大家好！我是来自邵东三中的一名数学教师，我本节课说课的内容是高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》，所用的教材是普通高中课程标准人教A版。

高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。对于高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。 一、 教材与学情分析

（一）教材的地位和作用

1、数列是高中数学的重要内容之一，也是与大学数学相衔接的内容，在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用。数列是反映自然规律的基本数学模

求数列通项公式，关键是观察已知“递推式的形式”，进而决定选择什么方法求通项。

数列求和问题，关键是观察所求出通项公式的形式，进而决定选择什么方法求和。

几种常见的数列的通项公式的求法

【一、观察法】关键是找出各项与项数n的关系

例1．根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）1,2,3

n

1245916

,4, （3）1,1017

2

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2

n答案：（1）an 10 1 （2）an n （3）an 2; （4）an ( 1)n 1 n. ;

n 1n 1n2 1

【二、定义法】已知数列类型、或者是能判断出数列类型（此方法常考）

例2．等差数列 an 是递减数列，且a2 a3 a4=48，a2 a3 a4=12，则数列的通项公式是例3．在各项为负数的数列{an}中，已知2 an=3 an+1，且a2a5=例4．已知a1=1,且数列{1

1

an 1

2

2

82n-2.数列{an}的通项公式是 －（） 273

}是公差为2的等差数列,则{an}的通项公式为

例5．（1）数列{an}中,an+1=an+2 且an>0，a1=2，求an