高中数学常见函数构造

高中数学常见题型解法归纳 分段函数常见题型解法

【知识要点】

分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.

1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：

?f1(x)x?D1?y?f1(x)x?D1?f(x)x?D?y?f(x)x?D?2?222f(x)??，不要写成f(x)??.注意分段函数的每一段的自变量的取值范

??x?D??x?Dnn?????fn(x)x?Dn?y?fn(x)x?Dn围的交集为空集，并集为函数的定义域D.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.

2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.

3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.

4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.

5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.

巧构造 妙解题

1. 直接构造 例1. 求函数f(x)?3?sinx的值域。

2?cosx3?sinx可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，

2?cosx故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。

分析：由于f(x)?解：令???cosx，??sinx，则?2??2?1表示单位圆

3???k表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（?，?）所得直线2????k??(3?2k)?0的斜率。

f(x)?显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即

|3?2k|1?k2?1

所以k?2?23 3故2?2323 ?f(x)?2?33例2. 已知三条不同的直线xsin3??ysin??a，xsin3??ysin??a，

xsin3??ysin??a共点，求sin??sin??sin?的值。

分析：由条件知sin?，sin?，sin?为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程msin3??nsin??a，即

4msin3??(n?3m)sin??a?0（*）

由条件知，sin?，sin?，sin?均为关于sin?的一元三次方程（*）

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。

?练习：已知函数f(x)的定义域是??1,2? ，求函数f??log1?3?x?? 的定义域。

??2??例2：已知函数f?log3x?的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 练习：定义在?3,8?上的函数f(x)的值域为??2,2?，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. ② R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习： 1. f(x)的定义域为(0,??)，对任意正

专题1 函数 (理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变

高考数学函数压轴题：

1. 已知函数f(x)?134x?ax?b(a,b?R)在x?2处取得的极小值是?. 33(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若x?[?4,3]时，有f(x)?m?m?210恒成立，求实数m的取值范围. 3

2

2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R (x)=3700x + 45x – 3

10x(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

3. 已知函数?(x)?5x2?5x?1(x?R)，函数y?f(x)的图象与?(x)的图象关于点

1(0,)中心对称。 2（1）求函数y?f(x)的解析式；

（2）如果g1(x)?f(x)，gn(x)?f[gn?1(x)](n?N,n?2)，试求出使g

深圳第二实验学校高二数学竞赛专题讲义

高斯函数(1) [知识点金]

1. 有关概念

对于任意实数x,?x?为不超过x的最大整数,,y??x?称为取整函数或叫高斯函数,并将y??x??x??x?称为小数部分函数,表示x的小数部分.

2. 重要性质

(1) y??x?的定义域是R,值域为Z; (2) 如果x?R,n?Z,则有?n?x??n??x?; (3) 对任意x?R,有?x??x??x??1,x?1??x??x; (4) 当x?y时,有?x???y?,即y??x?是不减函数; (5) 对于x,y?R,有?x???y???x?y???x???y??1; (6) 如果n?N?,x?R,则?nx??n?x?; ?x???x??(7) 如果n?N,x?R,则?????.

nn?????3. 常用方法

(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法

[例题精析]

例1 求方程3

例2 解方程 8?3x??5?2x??3.

例3 求方程lgx??lgx??2?0的实数根的个数.

22x???10?3x?1???32x???10?3x?1??82??80的解的个数

高三一轮复习——李江《高中数学》必会基础题型——函数

《高中数学》必会基础题型——《函数》 作者：李江

【知识点】

1.函数的单调性。

(1)设a x1 x2 b，若f(x1) f(x2)，则f(x)在 a,b 上是增函数；

(2)设a x1 x2 b，若f(x1) f(x2)，则f(x)在 a,b 上是减函数。 结论：两个增函数的和还是增函数，两个减函数的和还是减函数。

1

若y f(x)是增函数，则y f(x)是减函数，y 是减函数。

f(x)1

反之：若y f(x)是减函数，则y f(x)是增函数，y 是增函数。

f(x)

2.函数的奇偶性。【注意：函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称】 代数意义：若f( x) f(x)，则f(x)是奇函数；

若f( x) f(x)，则f(x)是偶函数。 几何意义：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

反过来也成立：如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。 3.指数与根式的互化

：a (a 0)

4.指数幂的运算性质：①ar as ar s；②(ar)s ars；③(ab)r arbr。 5

《思跃理科》内部资料——总结人：liyong

常见函数性质汇总

f(x)=b

常数函数 f(x)=b (b∈R)

x 图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线 O

一次函数 f(x)=kx+b (k≠0,b∈R) |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； y f(x)=kx+b

图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0

定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时， 当k<0时

x O 奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；

反 函 数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周 期 性：无

补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系

2、与曲线函数的联合运用

反比例函数 f(x)=

y b k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) x图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象

限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：(??,0)?(0,??) 值 域：(??,0)?(0,??)

y f(x)=O k xx 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时

奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身

高三一轮复习——李江《高中数学》必会基础题型——函数

《高中数学》必会基础题型——《函数》 作者：李江

【知识点】

1.函数的单调性。

(1)设a x1 x2 b，若f(x1) f(x2)，则f(x)在 a,b 上是增函数；

(2)设a x1 x2 b，若f(x1) f(x2)，则f(x)在 a,b 上是减函数。 结论：两个增函数的和还是增函数，两个减函数的和还是减函数。

1

若y f(x)是增函数，则y f(x)是减函数，y 是减函数。

f(x)1

反之：若y f(x)是减函数，则y f(x)是增函数，y 是增函数。

f(x)

2.函数的奇偶性。【注意：函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称】 代数意义：若f( x) f(x)，则f(x)是奇函数；

若f( x) f(x)，则f(x)是偶函数。 几何意义：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

反过来也成立：如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。 3.指数与根式的互化

：a (a 0)

4.指数幂的运算性质：①ar as ar s；②(ar)s ars；③(ab)r arbr。 5